משתמש:Idanfr/מד"ר

תנאי התחלה

תנאי התחלה הוא תנאי שעל הפונקציה או על אחת מנגזרותיה לקיים. התנאי הוא מהצורה: $\ y^{(n)}(x_{0})=y_{0}$, כאשר $\ y^{(0)}\equiv y$.

כאשר פותרים משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר $\ n$ מקבלים פתרון עם $\ n$ פרמטרים (הנקרא פתרון כללי של המשוואה). כדי שיהיה ניתן למצוא פונקציה מסוימת (ללא פרמטרים) יש צורך ב-$\ n$ תנאי התחלה (פתרון זה נקרא פתרון פרטי).

למערכת של משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר $\ n$ עם $\ n$ תנאי התחלה קוראים בעיית התחלה.

דוגמה

אחת המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות הפשוטות ביותר היא המשוואה:

$\ y-y'=0$

הפתרון הכללי שלה הוא:

$\ y(x)=Ce^{x}$

כאשר $\ C$ הוא פרמטר.

עבור תנאי ההתחלה:

$\ y(0)=1$

נקבל ש:

$\ y(0)=Ce^{0}=C=1$

ולכן הפתרון של בעיית ההתחלה:

$\ y-y'=0$

$\ y(0)=1$

הוא:

$\ y(x)=e^{x}$