משתמש:Infophile~hewiki/ארגז חול

למת הפיצול

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית, למת הפיצול טוענת כי

תהי $0\to A\ {\stackrel {i}{\to }}\ B\ {\stackrel {j}{\to }}\ C\ \to 0$ סדרה מדוייקת של חבורות אבליות, אזי התנאים הבאים שקולים:

1. קיימת העתקה $r:B\to A$ כך ש $r\circ i=Id_{A}$
2. קיימת העתקה $s:C\to B$ כך ש $j\circ s=Id_{B}$
3. $B=A\oplus C$ כאשר i הוא השיכון הטבעי של A בתוך B ו-j היא ההטלה הטבעית של B על C

סדרה מדוייקת המקיימת את אחד מתנאי הלמה נקראת מתפצלת.

הוכחה

נראה כי $(1)\Leftrightarrow (3)$ וגם $(2)\Leftrightarrow (3)$ וזה יוכיח את הלמה.

$(1)\Leftarrow (3)$

$(1)\Rightarrow (3)$

$(2)\Leftarrow (3)$

$(2)\Rightarrow (3)$