מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
כיתוב תמונה
משפט שפלי שוביק הוא משפט מתחום תורת המשחקים, הקובע כי הליבה של משחק שוק אינה ריקה.
הערה: המשפט מסתמך על כך שמשחק שוק נגזר משוק שבו פונקציות הייצור הן רציפות וקעורות.
המשפט ההפוך אינו נכון.
הוכחת המשפט משתמשת במשפט בונדרבה-שפלי. נוכיח כי משחק שוק הוא משחק מאוזן, כלומר, תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים.
נגדיר את התשלום לקואליציה
בצורה הבאה:
, כאשר
היא פונקציית הייצור.
לכל קואליציה
נבחר הקצאה
שבה מתקבל המקסימום בהגדרת
.
מתקיים:
(i)
לכל שחקן i.
(ii)
, כאשר
הוא הסל ההתחלתי של שחקן i.
(iii)
נראה כעת כי המשחק הינו משחק מאוזן.
יהי
, כאשר
הוא אוסף כל הקואליציות הלא ריקות ב-
, ו-
היא קבוצת כל וקטורי המקדמים המאזנים חלש את
.
צריך להראות כי
.
נגדיר:
.
נראה כי
הוא הקצאה אפשרית:
כי הינו ממוצע של וקטורים ב-
.
נותר להראות כי
:
מכיון ש-
ועל ידי שינוי סדר סכימה, נקבל:
הוא וקטור מקדמים מאזנים, כלומר -
לכן -
כלומר
הוא אכן הקצאה אפשרית. לכן, מהגדרת
ומהגדרת
נקבל:
אי השוויון האחרון נובע מקעירות הפונקציות
.
על ידי שינוי סדר סכימה, נקבל:
,
כנדרש.
ולכן, הליבה אינה ריקה.
- שמואל זמיר, מיכאל משלר ואילון סולן, תורת המשחקים, הוצאת מאגנס, תשס"ח/2008.