עץ אהרונשיין

בתורת הקבוצות, עץ אהרנשיין הוא עץ שכל שלביו וכל ענפיו בני מניה לכל היותר, ועם זאת הוא אינו בן מניה בעצמו. קיומו של עץ כזה מפריך את הכללת הלמה של קניג עבור עצמות הגבוהות מ־$\aleph _{0}$.

כל עץ סוסלין הוא עץ אהרונשיין. באופן כללי, לכל מונה $\kappa$, $\kappa$־עץ אהרונשיין הוא עץ מגובה $\kappa$ כך שכל רמה שלו היא בגודל לכל היותר $\kappa$ וכל ענף הוא בגובה לכל היותר $\kappa$ (ומכאן "עץ אהרונשיין" סתם הוא למעשה $\aleph _{1}$־עץ אהרונשיין). העץ קרוי על שם המתמטיקאי הפולני נחמן אהרונשיין שהראה בנייה שלהם לראשונה בשנת 1934.

קיום עץ אהרונשיין

מהלמה של קניג נובע כי לא קיים $\aleph _{0}$־עץ אהרונשיין. קיומו של $\aleph _{1}$־עץ אהרונשיין הוכח על ידי נחמן אהרונשיין. טענת קיומו של $\aleph _{2}$־עץ אהרונשיין היא עצמאית — השערת הרצף גוררת את קיומו של עץ זה, ויליאם מיטשל וג'ק סילבר הראו שעקבי שלא קיים $\aleph _{2}$־עץ אהרונשיין (בהינתן קיום של מונה קומפקטי חלש).

רונלד ינסן הוכיח שאקסיומת הבנייה גוררת שקיים $\kappa$־עץ אהרונשיין (ולמעשה $\kappa$־עץ סוסלין) לכל מונה אינסופי עוקב $\kappa$. ג'יימס קאמינגס ומת'יו פורמן הוכיחו בשנת 1998 באמצעות אקסיומות של מונים גדולים שעקבי שאין $\aleph _{n}$־עץ אהרונשיין לכל $n$ הגדול מ־$1$. אם $k$ הוא קומפקטי חלש אזי לא קיים $\kappa$־עץ אהרונשיין. בכיוון השני, אם $\kappa$ הוא אי נסיג, ולא קיים $\kappa$־עץ אהרונשיין, אזי $\kappa$ קומפקטי חלש.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.