מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
מסרק דיראק הוא סדרה אינסופית של הלמים במחזור T.
במתמטיקה, מסרק דיראק או מסרק הלמים (או רכבת הלמים) (בעיבוד אותות) סדרה אינסופית, מחזורית של פונקציית דלתא של דיראק המבוטאת כך:
![{\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24287721519d2a0df8f12d0a7676db61fbf512c8)
ומאחר והסדרה מחזורית היא ניתנת לייצוג כטור פורייה:
![{\displaystyle \Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709b82385d2deb82bcb40840fe9e574da832b8c9)
המסרק של דיראק שימושי מאוד בתחומי הנדסת חשמל, עיבוד אותות ומערכות אופטיות.
תכונת ההכפלה נגזרת ישירות מתכונות פונקציית דלתא של דיראק:
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)=|\alpha |\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta {\bigg (}\alpha \cdot (t-kT){\bigg )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615650dd98caae2ca27b572d4e2a4ec99248041c)
ממחזוריות הפונקציה ב T נובע:
.
טור פורייה מרוכב לפונקציה מחזורית זו:
![{\displaystyle \Delta _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b45d2b38901dbe373ec59c21176bc3ed6d6396)
כאשר קבועי פוריה הם:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
והתוצאה :
.
התמרת פורייה של מסרק דיראק היא גם מסרק דיראק:
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {1 \over T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{k \over T}\right)\quad =\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi fnT}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb0956a3d38992fcfa763e8a4ce843ecbd95e3a)
עד כדי קבוע
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\frac {2\pi }{T}}\right)\quad ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega nT}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3edd2cf53633311e261e4d6a39ea88d119265b0)
הכפלה של אות רציף במסרק דיראק היא אות דגום אידיאלי ושימושית מאוד בתורת הדגימה.
- Bracewell, R.N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986)