שדה פיתגורי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

שדה פיתגורי הוא שדה, שבו כל סכום של שני ריבועים הוא ריבוע. ("ריבוע" בשדה הוא איבר שיש לו שורש ריבועי, כלומר, איבר מהצורה כאשר a עצמו בשדה). שמם של השדות מגיע ממשפט פיתגורס המציג את ריבוע אורך היתר במשולש כסכום של שני ריבועים.

שדות פיתגוריים באים בשני טעמים: סדורים ושאינם סדורים. כדוגמה לקבוצה הראשונה, כל שדה אוקלידי הוא פיתגורי סדור. מאידך, לא כל שדה פיתגורי סדור הוא אוקלידי. ההבדל הוא שבשדה אוקלידי, כל המספרים החיוביים הם ריבועים, ואילו בשדה פיתגורי רק הסכומים של ריבועים מוכרחים להיות ריבועים; והרי כשיש יותר מדרך אחת לסדר שדה, יש מספרים חיוביים שאינם סכומים של ריבועים.

לקבוצה השנייה שייכים השדות הפיתגוריים שאינם סדורים. לפי משפט ארטין-שרייר מה שאינו מאפשר לסדר את השדה הוא העובדה ש- הוא סכום של ריבועים; אבל כל מספר אפשר להציג כהפרש של שני ריבועים, ואם הוא ריבוע, הפרש של שני ריבועים הוא גם סכום של שני ריבועים. לכן השדות הפיתגוריים שאינם סדורים הם בדיוק השדות הסגורים ריבועית, כדוגמת שדה המספרים הניתנים לבניה.

בכל שדה, החיתוך של משפחת תת-שדות פיתגוריים היא תת-שדה פיתגורי. מכאן נובע שלכל שדה F יש סגור פיתגורי (חיתוך השדות הפיתגוריים המכילים אותו בתוך סגור אלגברי שלו), שהוא השדה הפיתגורי הקטן ביותר המכיל את השדה. אם F סדור, הסגור הפיתגורי שלו יהיה מוכל בסגור האוקלידי (ולכן סדור בעצמו).

לפי משפט Diller-Dress, פיתגוריות אינה מופיעה לאחר הרחבת שדות סופית; כלומר, הרחבה סופית של שדה שאינו פיתגורי, גם היא אינה פיתגורית.

שדות פיתגוריים הם השדות שמספר פיתגורס שלהם הוא 1. שדה פיתגורי סדור, שכל הרחבה אלגברית סדורה שלו היא פיתגורית, נקרא שדה פיתגורי תורשתית. ידוע ש-F שדה כזה אם ורק אם מספר פיתגורס של שדה הפונקציות שווה ל-2.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]