שיחה:מידת לבג

למה משפט ויטלי אינו בעצם הגדרה של מידת לבג? אבי 20:12, 5 מרץ 2005 (UTC)

למה שהוא כן יהיה הגדרה של מידת לבג? MathKnight 20:15, 5 מרץ 2005 (UTC)

אם לכל קבוצה בת מניה יש מידת לבג אפס (הגדרה), אז לכל קבוצה שאינה בת מניה יש מידת לבג שונה אפס, וזה משפט ויטלי. אבי 20:25, 5 מרץ 2005 (UTC)

זה לא נכון.

1. משפט ויטלי אומר שלכל קבוצה שמידתה שונה מאפס יש תת-קבוצה שאיננה מדידה.
2. הטענה "לכל קבוצה שאינה בת מניה יש מידת לבג שונה אפס" איננה נכונה. קבוצת קנטור (Cantor set) היא דוגמה נגדית לכך. היא איננה בת-מניה אך בעלת מידה אפס.
3. הגדרה של מידת לבג צריכה להיות קונסטרוקטיבית, כלומר - שהיא תיתאר מהי בדיוק מידת לבק, איך היא עובדת ומה היא עושה. משפט המאפיין את מידת לבג איננו יכול להיות הגדרה שלה (אפילו אם הוא מאפיין ביחידות והוא שקול לוגית להגדרה, תמיד יש להעדיף הגדרה שקרובה יותר לאינטואיציה ונותנת מושג על מדובר).

MathKnight 20:30, 5 מרץ 2005 (UTC), MathKnight 20:54, 5 מרץ 2005 (UTC)

OK, תודה אבי 20:58, 5 מרץ 2005 (UTC)

גישה שונה להגדרת המידה

אני לומד כרגע קורס בסיסי העוסק בתורת לבג, ושלא במפתיע, מגדירים את המידה בצורה שונה למדי (ניתן לראות אותה למשל ב-Lebesgue Integration on Euclidean Space של Jones). למיטב הבנתי הגישה שמוצגת כרגע בערך היא הכללית פחות, שכן התוצר שלה הוא מידה שמוגדרת רק על הסיגמה אלגברה של בורל, ולא הסיגמה אלגברה (הגדולה יותר) של לבג. לתשומת לבם של כותבי הערך... גדי אלכסנדרוביץ' 12:17, 12 דצמבר 2005 (UTC)

כמובן שסתם קשקשתי (התכונה שבה משתמשים עבור ההגדרה, עם המידה החיצונית, שקולה למדידות לבג על פי הגישה שאני למדתי), אבל מה שכן, המשפט "אפשר להראות שעבור הישר הממשי, אוסף כל הקבוצות המדידות הוא הסיגמא-אלגברה הנוצרת ע"י כל קבוצות בורל והקבוצות בעלות מידה אפס." באמת טיפה מבלבל. מה ז"א "הקבוצות בעלות מידה אפס"? הרי טרם הגדרנו אפילו מה המידה של קבוצה. אולי צריך להיות "הקבוצות בעלות מידה חיצונית אפס"? גדי אלכסנדרוביץ' 06:46, 15 ינואר 2006 (UTC)

תיקון מקובל, אבל אז הם גם מדידות ובעלות מידה אפס. בברכה, _MathKnight_ (שיחה) 06:48, 15 ינואר 2006 (UTC)

טוב, עם הגישה שאתה מציג זה ככה על פי הגדרה... בגישה שאני למדתי זה משפט די מיידי. אגב, כדאי לציין שזה לא ככה באופן כללי: כלומר, תת קבוצה של קבוצה ממידה אפס לא בהכרח תהיה מדידה. זה אומר שמידת לבג היא שלמה (לא במובן הטופולוגי). אם אני לא טועה אפשר להגדיר את הסיגמה אלגברה של לבג בתור ההשלמה של הסיגמה אלגברה של בורל ביחס למידת לבג. גדי אלכסנדרוביץ' 07:04, 15 ינואר 2006 (UTC)

קבוצה לא מדידה

אפשר דוגמה לקבוצה כזו? --כרוז • שיחה 15:22, 14 במאי 2008 (IDT)

אקסיומות של מידת לבג

נסמן את קבוצת הקבוצות המדידות באות ${\mathcal {B}}$, והפונקציה $\mu :{\mathcal {B}}\to \left[0,\infty \right]$ תהיה מידת לבג. אז מתקיימות האקסיומות הבאות:

1. סיגמא-אדיטביות: $\mu \left({\underset {m}{\mathop {\uplus } }}\,\,A_{m}\right)=\sum \limits _{m}{\mu \left(A_{m}\right)}$ לכל סדרה של קבוצות $A$ זרות בזוגות.
2. אינווריאנטות תחת הזזה: $\mu \left(\left\{n+a|a\in A\right\}\right)=\mu \left(A\right)$ לכל קבוצה $A$ ולכל $n$ ממשי.
3. הומוגניות: $\mu \left(\left\{na|a\in A\right\}\right)=\left|n\right|\mu \left(A\right)$ לכל קבוצה $A$ ולכל $n$ ממשי.
4. $\mu \left(\left(0,1\right)\right)=1$
5. ${\mathcal {B}}$ היא סיגמא-אלגברה והיא הסיגמא-אלגברה הגדולה ביותר שלכל קבוצה בה קיימת מידה שניתנת לחישוב משאר האקסיומות ואינה גורמת סתירות

--כרוז • שיחה 08:59, 24 ביוני 2008 (IDT)