בור פוטנציאל סופי

בור פוטנציאל סופי (באנגלית: Finite potential well) הוא מונח ממכניקת הקוונטים המהווה הרחבה רעיונית של בור הפוטנציאל האינסופי, במסגרתה החלקיק תחום בבור, אך לבור יש קירות בעלי פוטנציאל סופי. שלא כמו בבור הפוטנציאל האינסופי, ישנה הסתברות גדולה מאפס למצוא את החלקיק מחוץ לבור; הפרשנות הקוונטית למודל זה שונה מהפרשנות הקלאסית, בה אם האנרגיה הקינטית של החלקיק נמוכה ממחסום האנרגיה הפוטנציאלית אז לא ניתן למצוא אותו מחוץ לבור. בפרשנות הקוונטית, ישנה תמיד הסתברות שונה מאפס למצוא את החלקיק מחוץ לבור גם כאשר קלאסית הוא לא יכול להיות שם (ראו גם מנהור קוונטי).

חלקיק בבור חד-ממדי סימטרי

עבור המקרה החד-ממדי על ציר ה-x, משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן היא:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi$   (1)

כאשר:

$\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$,

$h\,$ הוא קבוע פלנק,

$m\,$ היא מסת החלקיק,

$\psi \,$ היא פונקציית הגל המרוכבת שרוצים למצוא,

$V\left(x\right)\,$ היא הפונקציה המתארת את האנרגיה הפוטנציאלית בכל נקודה x, ו־$E\,$ היא האנרגיה, מספר ממשי שלעיתים מכונה אנרגיה עצמית.

עבור המקרה של חלקיק בבור חד-ממדי באורך L, הפוטנציאל הוא $V_{0}$ מחוץ לבור, ואפס בתוכו, כלומר עבור x בין $-L/2$ ל-$L/2$. פונקציית הגל חייבת להיות מורכבת ממספר פונקציות גל שונות בתחומים שונים של ציר ה-x – מחוץ לבור או בתוכו. לפיכך, פונקציית הגל תוגדר כך:

$\psi ={\begin{cases}\psi _{1}&:x<-L/2\\\psi _{2}&:-L/2<x<L/2\\\psi _{3}&:x>L/2\end{cases}}$

בתוך הבור

בתוך הבור מתקיים $V(x)=0$ ולכן משוואה 1 הופכת ל:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2}$

אם נסמן:

$k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}$,

אז המשוואה הופכת למשוואה:

${\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}$.

זוהי משוואה דיפרנציאלית שפתרונותיה הם מהצורה:

$\psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad$.

לכן,

$E={\frac {k^{2}\hbar ^{2}}{2m}}$.

A ו־B יכולים להיות מרוכבים, ו־k הוא מספר ממשי.

מחוץ לבור

בתחום שמחוץ לבור הפוטנציאל קבוע, כלומר $V(x)=V_{0}$, ומשוואה 1 הופכת למשוואה:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}$

ישנן שתי משפחות של פתרונות, האחת מתאימה למצב בו החלקיק קשור לפוטנציאל, כלומר מצב בו האנרגיה E קטנה מ־$V_{0}$ ‏($E<V_{0}$), והשנייה מתאימה למצב בו החלקיק חופשי, כלומר מצב בו האנרגיה E גדולה מ־$V_{0}$‏ ($E>V_{0}$).

עבור חלקיק חופשי, $E>V_{0}$, ואם נסמן:

$k'={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}$

נקבל את המשוואה:

${\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-k'^{2}\psi _{1}$

שלה אותה צורת פתרון כמו בתוך הבור:

$\psi _{1}=C\sin(k'x)+D\cos(k'x)\quad$

ערך זה יתמקד במצב בו החלקיק קשור לפוטנציאל, כלומר כאשר $E<V_{0}$. נסמן:

$\alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}$

ונקבל את המשוואה

${\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}$

שפתרונה הכללי הוא סכום של אקספוננטים:

$\psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!$

בדומה לכך, בתחום השני שמחוץ לבור נקבל:

$\psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!$

כדי למצוא את הפתרון לבעיה ספציפית, יש לציין את תנאי השפה ולמצוא את ערכי הקבועים A,‏ B,‏ F,‏ G,‏ H ו-I עבורם מתקיימים התנאים האלה.

מציאת פונקציות הגל עבור המצב הקשור

פתרונות משוואת שרדינגר חייבים להיות רציפים וגזירים. דרישות אלו מקנות תנאי שפה על המשוואות דיפרנציאליות שנגזרו מקודם, כלומר תנאי התאמה בין הפתרונות מחוץ לבור ובתוכה המאפשרים לנו "לתפור" את חלקי הפתרון זה לזה כך שהוא יהיה רציף. במקרה זה, בור הפוטנציאל הוא סימטרי, כך שניתן לנצל את הסימטריה הזאת על מנת לצמצם את מספר המשוואות הדרושות.

נסכם את התוצאות עד כה:

$\psi ={\begin{cases}\psi _{1}&:x<-L/2\\\psi _{2}&:-L/2<x<L/2\\\psi _{3}&:x>L/2\end{cases}}$

כאשר $\psi _{1}$, $\psi _{2}$ ו-$\psi _{3}\,\!$ הן:

$\psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!$

$\psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad$

$\psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!$

ניתן לראות שכאשר $x$ שואף ל-$-\infty$, איבר ה-$F$ שואף לאינסוף. בדומה לכך, כאשר $x$ שואף ל-$+\infty$, איבר ה-$I$ שואף לאינסוף. כדי שפונקציית הגל תהיה אינטגרבילית בריבוע, חייב להתקיים התנאי $F=I=0$, וכך מקבלים

$\psi _{1}=Ge^{\alpha x}\,\!$

וגם

$\psi _{3}=He^{-\alpha x}\,\!$

הפונקציה $\psi \,\!$ חייבת להיות רציפה וגזירה. במילים אחרות, הערכים של הפונקציות והנגזרות שלהן חייבים להיות תואמים בנקודות ההפרדה בין התחומים:

$\psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!$		$\psi _{2}(L/2)=\psi _{3}(L/2)\,\!$
${\frac {d\psi _{1}}{dx}}(-L/2)={\frac {d\psi _{2}}{dx}}(-L/2)\,\!$		${\frac {d\psi _{2}}{dx}}(L/2)={\frac {d\psi _{3}}{dx}}(L/2)\,\!$

כיוון שהפוטנציאל זוגי, למשוואות אלו יש שני סוגי פתרונות: סימטריים, שבהם $A=0$ ו-$G=H$; ואנטי-סימטריים, שבהם $B=0$ ו-$G=-H$. עבור המקרה הסימטרי מתקבל:

$He^{-\alpha L/2}=B\cos(kL/2)$

$-\alpha He^{-\alpha L/2}=-kB\sin(kL/2)$

כך שאם נחלק את המשוואות זו בזו נקבל

שורשים של המשוואה לרמות אנרגיה מקוונטטות בבור פוטנציאל סופי.

$\alpha =k\tan(kL/2)$.

בדומה לכך עבור המקרה האנטי-סימטרי מקבלים

$\alpha =-k\cot(kL/2)$.

נזכיר ש־$\alpha$ ו־$k$ תלויים באנרגיה. את הממצאים הללו ניתן לפרש פיזיקלית: תנאי הרציפות לא יכולים להתקיים עבור ערכים שרירותיים של האנרגיה, ובמקום זאת, רק רמות אנרגיה מסוימות, המתאימות לפתרונות של המשוואות לעיל, מותרות. לפיכך רמות האנרגיה של המערכת שנמצאות מתחת ל-$V_{0}$ הן בדידות; הפונקציות העצמיות המתאימות להן הן מצבים קשורים של בור הפוטנציאל (בניגוד לכך, רמות האנרגיה מעל $V_{0}$ הן רציפות).

לא ניתן לפתור את משוואות האנרגיה באופן אנליטי. עם זאת, ניתן לראות שבמקרה הסימטרי תמיד קיים לפחות מצב קשור אחד, גם אם הבור מאוד רדוד. ניתן להפיק פתרונות גרפיים או נומריים באמצעות הגדרת מספר משתנים חסרי ממדים: $u=\alpha L/2$ ו-$v=kL/2$, ולהבחין בכך שמההגדרות של $\alpha$ ו-$k$ נובע $u^{2}=u_{0}^{2}-v^{2}$, כאשר $u_{0}^{2}=mL^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}$, והמשוואות השלטות הן:

${\sqrt {u_{0}^{2}-v^{2}}}={\begin{cases}v\tan v,&{\mbox{(symmetric case) }}\\-v\cot v,&{\mbox{(antisymmetric case) }}\end{cases}}$

בגרף שמשמאל, עבור $u_{0}^{2}=20$, קיימים פתרונות כאשר חצי המעגל הכחול חותך את הענפים הסגולים או האפורים ($v\tan v$ ו- $-v\cot v$; הענפים הסגולים מייצגים פתרונות גל סימטריים והאפורים מייצגים פתרונות אנטי-סימטריים). כל עקום סגול או אפור מייצג פתרון אפשרי, $v_{i}$ בטווח ${\frac {\pi }{2}}(i-1)\leq v_{i}<{\frac {\pi }{2}}i$. המספר הכולל של פתרונות, $N$ (כלומר מספר הענפים שנחתכים על ידי חצי המעגל הכחול), ניתן לקביעה מחלוקת רדיוס המעגל הכחול, $u_{0}$, בטווח של כל פתרון $\pi /2$. כלומר:

$N=\left\lfloor {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rfloor +1=\left\lceil {\frac {2u_{0}}{\pi }}\right\rceil$

במקרה זה ישנם בדיוק שלושה פתרונות, כיוון ש-$N=\lfloor 2{\sqrt {20}}/\pi \rfloor +1=\lfloor 2.85\rfloor +1=2+1=3$.

פתרונות עבור בור הפוטנציאל.

$v_{1}=1.28,v_{2}=2.54$ and $v_{3}=3.73$, והאנרגיות המתאימות,

$E_{n}={2\hbar ^{2}v_{n}^{2} \over mL^{2}}$.

ניתן גם לחזור כעת אחורה ולמצוא את הערכים של הקבועים $A,B,G,H$ במשוואות (יש להכפיף אותן גם לתנאי הנרמול של פונקציית הגל). משמאל ניתן לראות את רמות האנרגיה ואת פונקציות הגל במקרה זה (כאשר $x_{0}\equiv \hbar /{\sqrt {2mV_{0}}}$).

גם עבור ערכים קטנים של $u_{0}$ (בור רדוד או צר), תמיד ישנו לפחות מצב קשור אחד. שני מקרים פרטיים הם חשובים במיוחד וראויים לציון. כאשר גובה הפוטנציאל הולך וגדל,$V_{0}\to \infty$, רדיוס חצי המעגל הופך גדול מאוד והשורשים הולכים ומתקרבים לערכים $v_{n}=n\pi /2$ - והרי אלו בדיוק הערכים של רמות האנרגיה של בור פוטנציאל אינסופי.

המקרה האחר הוא זה של בור צר מאוד ועמוק מאוד - ספציפית המקרה בו $V_{0}\to \infty$ וגם $L\to 0$ באופן כזה ש-$V_{0}L$ עומד על ערך קבוע. כיוון ש- $u_{0}\propto V_{0}L^{2}$, נקבל שהוא ישאף לאפס, וכך יהיה רק מצב קשור אחד. הפתרון המקורב המתקבל הוא $v^{2}=u_{0}^{2}-u_{0}^{4}$, והאנרגיה תשאף ל-$E=-mL^{2}V_{0}^{2}/2\hbar ^{2}$. אבל זוהי בדיוק האנרגיה של המצב הקשור של פוטנציאל דלתא בחוזק $V_{0}L$!

בור פוטנציאל חד-ממדי אסימטרי

נניח כעת בור פוטנציאל חד-ממדי אסימטרי הניתן בפוטנציאל:

$V(x)={\begin{cases}V_{1}&:-\infty <x<0\\0&:0<x<a\\V_{2}&:a<x<\infty \end{cases}}$

כאשר $V_{2}>V_{1}$. הפתרון המתאים לפונקציית הגל כאשר $E<V_{1}$ הוא:

$\psi (x)={\begin{cases}c_{1}e^{k_{1}x}&:x<0\\c\sin(kx+\delta )&:0<x<a\\c_{2}e^{-k_{2}x}&:x>a\end{cases}}$

כאשר:

$k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$

$k_{1}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{1}-E)}}$

$k_{2}={\sqrt {(2m/\hbar ^{2})(V_{2}-E)}}$

$\sin \delta ={\frac {k\hbar }{\sqrt {2mV_{1}}}}$.

קיומם של מצבים קשורים אינו מובטח במקרה האסימטרי; כיוון שתנאי הרציפות והגזירות של פונקציית הגל מאלצים את החלק האוסצילטורי של פונקציית הגל (החלק שבבור) לפגוש את שני החלקים הדועכים שלה במופעים שונים מסוימים, חייב להיות הפרש מופע מינימלי בין שני צידי הבור - ומכיוון שהבור בעל רוחב מוגדר וסופי הדבר מחייב מספר גל מינימלי ואנרגיה מתאימה מינימלית. אילו אנרגיה מינימלית זאת גבוהה מ-$V_{1}$ אז לא ייתכנו מצבים קשורים. כאן טמון ההבדל בין בור פוטנציאל סימטרי לאסימטרי - בבור פוטנציאל סימטרי ייתכן הפרש מופע שואף לאפס בין שני צידי הבור, ולכן לא משנה כמה רדוד או צר הוא, תמיד יהיה לפחות מצב קשור אחד.

רמות האנרגיה $E=k^{2}\hbar ^{2}/(2m)$ במקרה האסימטרי נקבעות לאחר ש-$k$ מחושב מתוך המשוואה הטרנסצנדנטלית הבאה:

$ka=n\pi -\sin ^{-1}\left[k\hbar /{\sqrt {2mV_{1}}}\right]-\sin ^{-1}\left[k\hbar /{\sqrt {2mV_{2}}}\right]$

התוצאות עבור בור פוטנציאל סימטרי מתקבלות מהצבת $V_{1}=V_{2}=V_{0}$ במשוואה זו.

ראו גם

• בור פוטנציאל אינסופי
• מנהור קוונטי