ערך עצמי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, ערך עצמי (Eigenvalue) של טרנספורמציה לינארית או של מטריצה הוא סקלר כלשהו, כך שקיים וקטור שונה מוקטור האפס (הנקרא וקטור עצמי) שהפעלת הטרנספורמציה עליו, או הכפלתו במטריצה, מכפילה אותו באותו סקלר. במילים אחרות, וקטור עצמי של טרנספורמציה או מטריצה הוא וקטור כזה, שעבורו הטרנספורמציה או מטריצה מתנהגים כמו סקלר. אינטואיטיבית, השפעת הטרנספורמציה היא "כיווץ" או "מתיחה" של הווקטור, מבלי ש"תזיז" או "תעקם" אותו.

בשל הקשר ההדוק בין מטריצות וטרנספורמציות, שמאפשר להביט עליהן כעל שני ייצוגים של אותו הדבר, מושג הערך העצמי זהה עבור שתיהן.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \ V מרחב וקטורי ותהא \ T:V\rarr V טרנספורמציה לינארית. אם קיים וקטור \ v\isin V השונה מאפס וסקלר \ \lambda כך ש-\ T(v)=\lambda v, אזי נקרא ל־\ \lambda ערך עצמי של \ T, ול־\ v נקרא וקטור עצמי (Eigenvector) של \ T השייך לערך העצמי \ \lambda.

בהתאם, מוגדרים גם ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות:

תהי \ A מטריצה ריבועית מסדר \ n מעל שדה \ \mathbb F ויהי \ v\isin \mathbb F ^n וקטור השונה מאפס.

אם קיים סקלר \ \lambda\isin\mathbb F כך ש-\ Av=\lambda v, אז \ v יקרא וקטור עצמי של \ A השייך לערך העצמי \ \lambda.

וקטור עצמי ומרחב עצמי[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור מטריצה \,A, הווקטורים העצמיים המתאימים לסקלר \,\lambda הם כל הפתרונות למערכת המשוואות ההומוגנית  \left( A - \lambda I \right) v = 0 , כאשר \,I היא מטריצת היחידה. וכאשר למשוואה הזו יהיה פתרון רק כאשר

הדטרמיננטה תהיה שווה לאפס  \det(A - \lambda I)=0 .

אוסף הפתרונות נקרא "המרחב העצמי" של \,\lambda, והוא תמיד מרחב וקטורי. אם יש פתרונות לא טריוויאליים (כלומר, \ v\neq 0), אז \,\lambda הוא "ערך עצמי", ובמקרה זה ממדו של המרחב קרוי הריבוי הגאומטרי של הסקלר (ראו להלן).

וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם בלתי-תלויים לינארית זה בזה.

ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי[עריכת קוד מקור | עריכה]

מאפיינים חשובים של ערך עצמי הם הריבוי האלגברי והריבוי הגאומטרי שלו. הריבוי האלגברי (או הריבוב האלגברי) הוא מספר הופעותיו של הערך העצמי כשורש של הפולינום האופייני; הריבוי הגאומטרי (או הריבוב הגאומטרי) הוא מספר הווקטורים העצמיים הבלתי-תלויים השייכים לערך העצמי, שהוא, למעשה, ממד המרחב העצמי של הערך העצמי או ממד מרחב הפתרונות של המשוואה  \left( A - \lambda I \right) v = 0 . הריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לריבוי הגאומטרי. אם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים לינאריים מעל השדה אזי סכום הריבויים האלגבריים שווה לסדר המטריצה.

מטריצה ניתנת ללכסון אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים מעל השדה, והריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שלה שווה לריבוי הגאומטרי שלו. בפרט, אם כל הערכים העצמיים שונים זה מזה, המטריצה לכסינה.

  • את השם "וקטור עצמי" לרוב רושמים כקיצור בתור ו"ע. כמו כן ע"ע עבור "ערך עצמי".

מציאת ערכים עצמיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערכים עצמיים מסייעים להצגת טרנספורמציות ומטריצות בצורות פשוטות יותר, ועל כן יש למציאתם חשיבות. בפרט, מציאת ערכים עצמיים הכרחית לתהליכי לכסון מטריצות.

ישנן מספר שיטות למציאת ערכים עצמיים, והן תלויות בסוג המטריצה שאת ערכיה העצמיים מחפשים.

הערכים העצמיים של מטריצה אלכסונית הם איברי האלכסון הראשי שלה, ווקטורי הבסיס הסטנדרטי הם וקטורים עצמיים שלה.

  • למטריצות דומות יש את אותו פולינום אופייני ולכן בהכרח גם אותם ערכים עצמיים עם אותם ריבוי אלגברי וגאומטרי.
  • סכום הערכים העצמיים של מטריצה שווה לעקבה שלה.
  • מכפלת הערכים העצמיים של מטריצה שווה לדטרמיננטה שלה.

שיטות נומריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור מטריצות מסדר גבוה הפולינום האופייני עשוי להיות ממעלה חמישית ויותר. נילס הנריק אבל ופאולו רופיני הראו כי לא קיים פתרון אלגברי כללי למשוואות כאלו (ראו היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות), ולכן במקרים כאלו נהוג להשתמש בשיטות נומריות המבוססות על שיטות איטרטיביות. אחת השיטות הנומריות הראשונות שהוצעו למציאת ערכים עצמאיים היא אלגוריתם QR.

אלגוריתמים נפוצים למציאת ערכים עצמיים
אלגוריתם קלט פלט תיאור שלב אתחול שלב עדכון
Power iteration מטריצה כללית הערך העצמי הגדול ווהקטור העצמי המתאים לו מתחילים מווקטור שירורתי, שאותו מכפילים במטריצה ומנרמלים עד להתכנסות. {\textstyle b_0} שרירותי {\textstyle  b_{k+1} = \frac{Ab_k}{\|Ab_k\|} }
אלגוריתם QR[1] מטריצת הסנברג כל הערכים העצמיים מבוסס על איטרציות שבכל שלב מוצאים פירוק QR של {\textstyle A_k=Q_k R_k} (‏{\textstyle Q_k} היא מטריצה אורתוגונלית ו-{\textstyle R_k} היא מטריצה משולשית עליונה). תחת תנאים מסוימים מתכנסים לפירוק שור והערכים העצמיים מצויים על האלכסון של המטריצה המשולשית. {\textstyle A=Q_1 R_1} {\textstyle A_{k+1}=R_k Q_k}
איטרציות יעקובי מטריצה סימטרית ממשית כל הערכים העצמיים בכל איטרציה מצמידים את המטריצה במטריצה אוניטרית כך שסכום רבועי האיברים שמחוץ לאלכסון יקטן, וכך מלכסנים את המטריצה

ספקטרום[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – ספקטרום של אופרטור

עבור אופרטורים (המכלילים את מושג המטריצה, המוגבלת למרחב בעל ממד סופי) קיימת הכללה למושג "הערך העצמי". הכללה זו היא קבוצת כל הנקודות t בהן לא קיים אופרטור הפיך וחסום ל \ A-tI. קבוצה זו נקראת ספקטרום של אופרטור ותכונותיה נלמדות במסגרת האנליזה הפונקציונלית.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ J.G.F. Francis, "The QR Transformation, I", The Computer Journal, vol. 4, no. 3, pages 265-271 (1961, received Oct 1959) online at oxfordjournals.org;
    J.G.F. Francis, "The QR Transformation, II" The Computer Journal, vol. 4, no. 4, pages 332-345 (1962) online at oxfordjournals.org.
    Vera N. Kublanovskaya, "On some algorithms for the solution of the complete eigenvalue problem," USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 1, no. 3, pages 637–657 (1963, received Feb 1961). Also published in: Zhurnal Vychislitel'noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki, vol.1, no. 4, pages 555–570 (1961).