מרחב מנה (אלגברה ליניארית) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
| שורה 3: | שורה 3: | ||
==הגדרה== |
==הגדרה== |
||
יהא <math>V</math> [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\mathbb{F}</math>, ויהי <math>W</math> |
יהא <math>V</math> [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\mathbb{F}</math>, ויהי <math>W</math>תת-מרחב שלו. נגדיר [[יחס שקילות]] על ידי <math>v \sim v \Leftrightarrow v-u \in W</math> עבור כל <math>v,u \in V</math>. |
||
נסמן את מחלקת השקילות של וקטור <math>v \in V</math> להיות <math>\left[v\right] = \left\{u \in V \mid u \sim v \right\}</math>, ונתבונן באוסף מחלקות השקילות הללו, שנסמן <math>V/W</math>. |
נסמן את מחלקת השקילות של וקטור <math>v \in V</math> להיות <math>\left[v\right] = \left\{u \in V \mid u \sim v \right\}</math>, ונתבונן באוסף מחלקות השקילות הללו, שנסמן <math>V/W</math>. |
||
ניתן להגדיר באופן טבעי על <math>V/W</math> מבנה של מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}</math>, על ידי פעולת חיבור <math>\left[v\right]+\left[u\right] = \left[v+u\right]</math> וכפל בסקלר <math>\lambda \cdot \left[v\right] = \left[\lambda \cdot v \right]</math>. |
|||
[[מחלקת שקילות|מחלקת השקילות]] של וקטור x ב־V היא: |
|||
<math>[x]=\left\{y \in V : x \sim y\right\}</math><BR> |
|||
מגדירים פעולת חיבור מחלקות כך: |
מגדירים פעולת חיבור מחלקות כך: |
||
גרסה מ־13:22, 24 באוגוסט 2016
באלגברה לינארית, מרחב מנה של מרחב וקטורי המתקבל מתת-מרחב , הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו מסומן . הגדרה זו יצר פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו "Finite dimensional vector spaces".
הגדרה
יהא מרחב וקטורי מעל שדה , ויהי תת-מרחב שלו. נגדיר יחס שקילות על ידי עבור כל .
נסמן את מחלקת השקילות של וקטור להיות , ונתבונן באוסף מחלקות השקילות הללו, שנסמן .
![{\displaystyle \left[v\right]=\left\{u\in V\mid u\sim v\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a99d48b7e412428aa4c299e07f57f26e26463bd)
ניתן להגדיר באופן טבעי על מבנה של מרחב וקטורי מעל , על ידי פעולת חיבור וכפל בסקלר .
![{\displaystyle \left[v\right]+\left[u\right]=\left[v+u\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105f59b0865b492acaf37bec435334f772a9479e)
![{\displaystyle \lambda \cdot \left[v\right]=\left[\lambda \cdot v\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68efa943345f0fd06484ba52378369630e1a1ac5)
מגדירים פעולת חיבור מחלקות כך:
וכן מגדירים כפל מחלקה בסקלר a מהשדה F:
ומתקבל מרחב וקטורי המכונה מרחב המנה של V מעל W המסומן: V/W.
![{\displaystyle \left[x\right]+\left[y\right]=\left[x+y\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d0c4807d21eb679d48065f25557678f49ef04af)
![{\displaystyle a\left[x\right]=\left[ax\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14cf6873f2216eccf77a3889ae9f60324ed9f6b3)
הוכחת ~ יחס שקילות
- רפלקסיביות: לכל x ∈ V מתקיים x-x = 0 וכן 0 ∈ W מאחר ש W מרחב וקטורי
- סימטריות: x-y ∈ W ומשום תכונת הסגירות במרחב גם מתקיים y-x ∈ W.
- טרנזיטיביות: x-y,y-z ∈ W ומשום תכונת הסגירות במרחב גם מתקיים (x-y)+(y-z) = x-z ∈ W.
דוגמאות למרחב מנה
פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו.