מתאם ספירמן

מקדם המתאם של ספירמן, בסטטיסטיקה, הוא מדד קשר א-פרמטרי המודד את עוצמת הקשר בין שני משתנים, כאשר המשתנים נמדדים על ידי סולם סדר, רווח או מנה. מדד זה מעריך עד כמה טוב ניתן לתאר את הקשר בין המשתנים באמצעות פונקציה מונוטונית.המדד אומד את עוצמת הקשר בין שני משתנים, X ו-Y, על ידי דירוג התצפיות.

באופן מעשי נהוג להשתמש במדד זה כאשר לפחות אחד משני המשתנים נמדד בסולם סדר.

המדד קרוי על שמו על צ'ארלס ספירמן, ולעיתים מסומן באות היוונית ρ (רו).

הגדרה

יהיו X ו-Y שני משתנים הנמדדים בסולם סדר, רווח או מנה. נתונות N תצפיות מזווגות של שני המשתנים: .(X1, Y1), .....(Xn, Yn).

נגדיר את Ri להיות הדרגה של Xi (כאשר מדרגים את ערכי X מהנמוך לגבוה), ובאופן דומה את Si להיות הדרגה של Yi ואת Di להיות שווה להפרש Ri-Si.

אזי מקדם המספר של ספירמן ρ מוגדר על ידי:

$\rho =1-{\frac {6\sum Di^{2}}{N(N^{2}-1)}}$

למעשה המדד זה מחושב על הפעלת נוסחת מקדם המתאם של פירסון על הדרגות R ו-S, והנוסחה הנתונה מתקבלת על ידי פישוט אלגברי של החישוב.

תכונות

• המדד הינו סימטרי: מתאם ספירמן בין X ל-Y שווה למתאם ספירמן בין Y ל-X.
• ערכו של המתאם נע בין $1$ ל-$-1$.
• אם ערכו של המדד שווה ל-1 אז יש בין המשתנים קשר מונוטוני חיובי מלא, ואם ערכו שווה ל-1- אז יש בין שני המשתנים קשר מונוטוני שלילי מלא. ערך 0 מציין חוסר קשר מונוטוני.

דוגמה

במבחני טעימה אנשים נתבקשו לטעום מותגים שונים של פיצה, ולדרג את הנאתם מהטעם בסולם שנע בין הערכים 1 עד 10, כאשר הערך 1 מציין "לא טעים בכלל", והערך 10 מציין "טעים מאוד". כמו כן, יש נתונים על המחיר של כל מנת פיצה בשקלים, שאינם ידועים לטועמים. לשם הפשטות, נציג כאן נתונים של 6 טועמים בלבד:

• דירוגי הטעמים של ששת הטועמים היו: 2, 8, 10, 7, 5, 4
• המחירים של כל מנת פיצה היו (בהתאמה): 15, 20, 18, 12, 15, 22

שימו לב כי לשתי מנות של פיצה היה מחיר זהה של 15 שקלים. אלה היו המחירים השני והשלישי הנמוכים ביותר, ולכן לכל אחד מהם ניתנה הדרגה הממוצעת 2.5.

לכן הדרגות של המשתנים הן:

• טעמים: 1, 5, 6, 4, 3, 2
• מחירים:2.5, 5, 4, 1, 2.5, 6

הפרשי הדרגות וריבועיהן בהתאמה הם:

• הפרשי דרגות: 1.5, 0, 2-, 3-, 0.5-, 4
• ריבועי ההפרשים: 2.25, 0, 4, 9, 0.25, 16

ומכאן נקבל כי סכום ריבועי ההפרשים הוא 31.5. כעת נוכל להציב את סכום ריבועי ההפרשים בנוסחה ונקבל כי:

$\rho =1-{\frac {6*31.5}{6(6^{2}-1)}}=0.1$

מסקנתנו תהיה כי יש קשר חלש מאוד (ולמעשה כמעט אין קשר) בין מחיר הפיצה והטעם שלה.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מתאם ספירמן בוויקישיתוף

• מתאם ספירמן, באתר MathWorld (באנגלית)