חלקיק חופשי

חלקיק חופשי זוהי בעיה יסודית בפיזיקה בה חלקיק נע באופן חופשי ולא תחת השפעה של שום פוטנציאל או כוח.

פתרון במכניקה קלאסית

הלגרנז'יאן של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא

$\ L={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}$

משוואת התנועה המתקבלת ממשוואות אוילר-לגראנז' או ישירות מחוקי ניוטון היא $\ m{\ddot {x}}=0$. פתרון במשוואה הוא:

$\ x(t)=x_{0}+v_{0}t$

כאשר $\ x_{0},v_{0}$ הם קבועים שנקבעים לפי תנאי ההתחלה.

מן הפתרון ניתן לראות שחלקיק חופשי מבצע תנועה במהירות קבועה בקו ישר.

ניתן להכליל בקלות את הבעיה עבור חלקיק חופשי רב-ממדי. במקרה זה ${\vec {x}}$ יהיה וקטור d-ממדי, ואז

$\ L={\frac {1}{2}}m\left({\frac {d{\vec {x}}}{dt}}\right)^{2}$

והפתרון

$\ {\vec {x}}(t)={\vec {x_{0}}}+{\vec {v_{0}}}t$

ההמילטוניאן של חלקיק חופשי חד-ממדי הוא

$\ H={\frac {p^{2}}{2m}}$

כאשר p הוא התנע של החלקיק.

פתרון במכניקת הקוונטים

במכניקת הקוונטים החלקיק החופשי מתואר על ידי פונקציית גל שפותרת את משוואת שרדינגר

$\ i\hbar {\frac {\partial \psi ({\vec {x}})}{\partial t}}=H\psi ({\vec {x}})$

כאשר

$\ H={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\nabla }^{2}$

הוא ההמילטוניאן של חלקיק חופשי.

הפונקציות העצמיות הן גלים מישוריים

$\ \psi ({\vec {x}})={\frac {1}{\sqrt {V}}}e^{i{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}/\hbar }={\frac {1}{\sqrt {V}}}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}$

ומתאימים למצב בו לחלקיק יש תנע מוגדר. האנרגיות שלהם הן

$\ \hbar \omega =E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$

הפתרון הכללי הוא סופרפוזיציה של גלים מישוריים:

$\left.\right.\psi ({\vec {x}},t)=\int \phi ({\vec {k}})e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)}d{\vec {k}}$

אינטגרל מסלול של חלקיק חופשי הוא:

$\ \psi _{x_{0}}(x_{f},t)=G(x_{f},t;x_{0},0)={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar t}}}\exp {\left({\frac {im}{2\hbar t}}(x_{f}-x_{0})^{2}\right)}$