הצגת המקור של הדף "מספר סוריאליסטי"

'''מספר סוריאליסטי''' הוא מבנה קומבינטורי המייצג [[משחק אסטרטגיה מופשט|משחק אסטרטגיה]], שאותו ניתן לעיתים לפרש כמספר. ה[[מתמטיקאי]] ה[[אנגלים|אנגלי]]-[[אמריקאים|אמריקאי]] [[ג'ון קונוויי]] המציא או גילה (כדבריו של קונוויי) את המספרים הסוריאליסטים בתחילת [[שנות ה-70 של המאה ה-20]]. הם הופיעו לראשונה ב[[נובלה]] פרי עטו של [[דונלד קנות']] שאף נתן להם את שמם. מאוחר יותר הופיעה התאוריה בספרו של קונוויי On Numbers and Games. אוסף המספרים הסוריאליסטים מהווה [[מערכות מספרים|מערכת מספרים]] משוכללת, ה[[הכללה (מתמטיקה)|מכלילה]]   את [[שדה המספרים הממשיים]] ואת אוסף ה[[מספר סודר|מספרים הסודרים]]). השם Surreal number רומז לאופי ה[[סוריאליזם|סוריאלסטי]]-משהו של הבנייה, ולכך שמספרים אלו ניצבים (במידת-מה) מעבר ל[[מספר ממשי|מספרים הממשיים]] (Real numbers).

הגדרת המספרים הסוריאליסטיים מבוססת על רעיונת שונים מרוב [[מערכות מספרים|מערכות המספרים]] המקובלות במתמטיקה. ניתן להתיחס עליהם מ-2 נקודות מבט:
* כמערכת מספרים - מנקודת מבט זו, אין חשיבות להגדרה של מספר סוריאליסטי ספציפי, אלה רק לאוף שלהם ולפעולות עליהם (בדומ לשאר מערכות המספרים)
*  כמשחקים קומבינטוריים - כאן יש חשיבות להגדרה הספציפית של מספר סוריאליסטי בתור משחק. ככאלה המספרים הסוריאליטיים מהווים כלי תאורטי חשוב בניתוח משחקים, במסגרת [[תורת המשחקים הקומבינטורית]].

== משחקים ==

משחקי אסטרטגיה מופשטים הם משחקים שבהם יש שני צדדים (נאמר, L ו-R), המבצעים מהלכים לסירוגין, תוך ידיעה מלאה על מצב המשחק וללא השפעה של מזל. באופן המשחק המקובל, הצד שאינו יכול לבצע עוד מהלך חוקי, מפסיד. בין הדוגמאות למשחקים כאלה: [[דמקה]], [[איקס עיגול]] ו[[נים (משחק)|נים]].

קונוויי הבחין שבמשחקים מעין אלה, אין צורך לתאר את המהלכים שיכול לבצע כל שחקן (ובוודאי שלא את כללי המשחק או חוקיו) – די לתאר את המצבים שאליהם יכול כל שחקן להגיע בתורו. הפשטה זו מביאה ל[[הגדרה]] של '''משחק סוריאליסטי''' כ[[זוג סדור]], שכל אחד משני רכיביו הוא קבוצה של משחקים סוריאליסטיים (ומכאן ואילך, '''משחקים''' סתם): ברכיב השמאלי מופיעים המשחקים שאליהם יכול להגיע בתור אחד השחקן L, וברכיב הימני המשחקים שאליהם יכול להגיע בתור אחד השחקן R. מקובל לסמן את הקבוצות בין סוגריים מסולסלים, ולהפריד אותן ב[[קו ניצב]]: <math>\ \{a,b,c,\ldots|x,y,z,\ldots\}</math>. הגדרה זו נדמית [[הגדרה מעגלית|מעגלית]], אך היא מייצגת [[רקורסיה|מבנה אינדוקטיבי]], וניתן בנקל להפוך אותה להגדרה ב[[אינדוקציה טרנספיניטית]].

לדוגמה, המשחק <math>\ \{|\}</math> מציין משחק נטול מהלכים (ומקיים את ההגדרה [[באופן ריק]]): כל שחקן שתורו לנוע, יפסיד. נסמן (כמקובל) את המשחק הזה ב-[[אפס (מספר)|0]]. במשחק <math>\ \{|0\}</math> יש לצד R מהלך יחיד, המעביר את המשחק ל-0, ואילו לצד L אין מהלכים כלל. אם תורו של L, הוא מפסיד; ואם תורו של R, אז הוא בוחר (בלית ברירה) לעבור ל-0, ואז עובר התור לרשותו של L, המפסיד מיד. משחק זה מבטיח ניצחון לצד R והפסד לצד L. באופן דומה, המשחק <math>\ \{0|\}</math> מבטיח ניצחון לצד L, ואילו המשחק <math>\ \{0|0\}</math> מבטיח ניצחון לשחקן הראשון (R או L).

== מִספרים כמשחקים ==

ישנם משחקים שאפשר להתאים להם ערך מספרי, האמור לייצג את "ערך המשחק" עבור השחקן L. לדוגמה, <math>\ \{0|\}</math> הוא משחק בעל ערך 1, ו- <math>\ \{0,\{0|\}|\}, \{\{0|\}|\}</math> שניהם בעלי ערך 2. הערך מותאם באופן כזה שאם R יכול להשוות בין המהלכים השונים האפשריים בתורו, הוא יעדיף לבחור בזה שהערך שלו הוא הנמוך ביותר, בעוד ש- L יעדיף תמיד מהלכים בהם הערך הוא הגבוה ביותר.

בתנאים אלה, ההיגיון מחייב שערכו של משחק נמוך מכל הערכים שאליהם יכול R להוביל, וגבוה מכל הערכים שאליהם יכול L להוביל. ואכן, כך מוגדר '''מספר סוריאליסטי''': משחק סוריאליסטי הוא מספר, אם כל המצבים שלו הם מספרים, וכל המצבים בימין גדולים מכל המצבים בשמאל. למשל, המשחקים בעלי ערך 2 מתאימים למספר 2, בעוד שהמשחק <math>\ \{0|0\}</math> (שבו השני מנצח) אינו בעל ערך מספרי. לצורך כך מוגדר יחס הסדר בין משחקים באופן הרקורסיבי הבא: <math>\ x \leq y</math> אם לא קיים רכיב שמאלי <math>\ x^L</math> (כלומר איבר של הצד השמאלי של x) כך ש-<math>\ y \leq x^L</math>, ולא קיים רכיב ימני <math>\ y^R</math> כך ש-<math>\ y^R \leq x</math>. אם <math>\ x \leq y</math> ו-<math>\ y \leq x</math> אומרים שהמשחקים שווים (אף על פי שהם עשויים להיות שונים זה מזה כזוגות של קבוצות).
===פעולות על מספרים סוריאליסטים===
על אוסף המספרים הסוריאליסטיים אפשר להגדיר [[הגדרה רקורסיבית|באופן רקורסיבי]] פעולות של חיבור וכפל, ההופכות אותו ל[[שדה סדור]] (שאינו [[שדה סדור ארכימדי|ארכימדי]]).

החיבור מוגדר לפי <math>x+y = \{x^L+y,x+y^L|x^R+y,x+y^R\}</math>, לכל <math>\ x^L,x^R</math> רכיבים שמאליים וימניים של x בהתאמה, וכן ל-y.

כדוגמה, נוכיח שמתקיים <math>x+0=x</math>: נניח שהתכונה מתקיימת לכל הרכיבים השמאליים והימניים של x, ונקבל: ל0 אין רכיבים ימניים ולא שמאליים, לכן הרכיבים השמאליים של <math>x+0</math> הם <math>x^L+0=x^L</math>, והרכיבים הימניים הם <math>x^R+0=x^R</math>. קיבלנו <math>x+0=\{x^L|x^R\}=x</math>.

הכפל מוגדר לפי <math>xy = \{x^Ly+xy^L-x^Ly^L, x^Ry+xy^R-x^Ry^R| x^Ly+xy^R-x^Ly^R, x^Ry+xy^L-x^Ry^L\}</math>.

כדוגמה, נוכיח שמתקיים <math>x\cdot0=0</math>: ל0 אין רכיבים ימניים ולא שמאליים, לכן הביטוי <math>x^Ly+xy^L-x^Ly^L</math> לא קיים (בשל אי קיומו של <math>y^L</math>), וכן לגבי שאר הביטויים המופיעים בהגדרת <math>x\cdot0</math>. לכן <math>x\cdot0=\{|\}=0</math>.

השדה מכיל מספרים כגון <math>\ \omega = \{1,2,3,\dots|\}</math>, אבל גם <math>\ \frac{\omega}{2} = \{0,1,2,\cdots|\omega,\omega-1,\omega-2,\cdots\}</math> ואף <math>\ \sqrt{\omega} = \{0,1,2,\cdots|\omega,\frac{\omega}{2},\frac{\omega}{4},\cdots\}</math>.

== שדה המספרים הסוריאליסטיים ==

האוסף של כל המספרים הסוריאליסטיים גדול כל כך, עד שאינו מהווה קבוצה, אלא [[מחלקה (תורת הקבוצות)|מחלקה]] (כך לפי [[הפרדוקס של בורלי-פורטי]], משום שכל [[מספר סודר]] הוא מספר סוריאליסטי). האוסף הזה הוא "שדה סדור אוניברסלי": כל שדה סדור ניתן לשיכון (יחיד) בתוכו.

== מקורות ==
<div class="mw-content-ltr">
* J.H. Conway, "On Numbers and Games", 1976.
* Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, and Richard K. Guy, "Winning Ways for your Mathematical Plays", Academic Press, 1982 {{אנ|Winning Ways for your Mathematical Plays}}
* E.N. Siegel, "Combinatorial Game Theory", Springer, 2013.
</div>

== ראו גם ==

* [[מערכות מספרים]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}
{{תרשים מערכות מספרים}}

[[קטגוריה:מספרים]]
[[קטגוריה:תורת המשחקים הקומבינטורית]]
[[קטגוריה:ג'ון הורטון קונוויי]]