בעיית איינשטיין – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ ניסוח המשפט הפותח, תיקון פרמטרים
אין תקציר עריכה
שורה 3: שורה 3:


== פתרונות מוצעים ==
== פתרונות מוצעים ==
{{להשלים|נושא=מדעי הטבע}}
[[קובץ:Socolar-Taylor_tile.svg|שמאל|ממוזער|225x225 פיקסלים| "אריח סוקולאר-טיילור" הוא פתרון מוצע לבעיית איינשטיין.]]
[[קובץ:Socolar-Taylor_tile.svg|שמאל|ממוזער|225x225 פיקסלים| "אריח סוקולאר-טיילור" הוא פתרון מוצע לבעיית איינשטיין.]]
[[קובץ:Aperiodic monotile smith 2023.svg|שמאל|ממוזער|225x225 פיקסלים|אחד מהמשפחה האינסופית של אריחי סמית'-מאיירס-קפלן-גודמן-שטראוס. אריחים צהובים הם הגרסאות המשתקפות של האריחים הכחולים.]]
בשנת 1988, פיטר שמיט גילה פרוטוטיל א-מחזורי יחיד ב[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]] התלת-ממדי. בעוד שאף ריצוף על ידי פרוטוטיל זה לא אפשר [[הזזה (גאומטריה)|הזזה]] כסימטריה, לחלקם יש [[סימטריה של בורג]] {{אנ|Screw axis}}. פעולת ההברגה כוללת שילוב של הזזה וסיבוב דרך כפולה אי-רציונלית של π, כך ששום מספר של פעולות חוזרות אינן מניבות הזזה טהורה. בנייה זו הורחבה לאחר מכן על ידי [[ג'ון הורטון קונוויי]] ולודוויג דנצר ל[[קבוצה קמורה]] א-מחזורית, [[אריח שמיט-קונווי-דנזר]] {{אנ|Gyrobifastigium}}. נוכחות הסימטריה של הבורג הביאה להערכה מחדש של הדרישות לאי-מחזוריות.{{הערה|Radin, Charles (1995). [https://www.ams.org/journals/proc/1995-123-11/S0002-9939-1995-1277129-X/ "Aperiodic tilings in higher dimensions"]. Proceedings of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 123 (11): 3543–3548. doi:[https://www.ams.org/journals/proc/1995-123-11/S0002-9939-1995-1277129-X/ 10.2307/2161105]. [[JSTOR]] [https://www.jstor.org/stable/2161105 2161105]. MR [https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1277129 1277129].}} [[חיים גודמן-שטראוס]] {{אנ|Chaim Goodman-Strauss}} הציע כי ריצוף ייחשב מאוד א-מחזורי אם הוא לא מאפשר בשום [[חבורה ציקלית|קבוצה מחזורית אינסופית]] של [[שינוי צורה נוקשה|תנועות אוקלידיות]] {{אנ|Rigid transformation}} כסימטריות, ושרק קבוצות אריחים האוכפות א-מחזוריות חזקה ייקראו א-מחזוריות חזקה, בעוד שקבוצות אחרות ייקראו א-מחזוריות חלשה.{{הערה|Goodman-Strauss, Chaim (10 Jan 2000). [https://strauss.hosted.uark.edu/papers/survey.pdf "Open Questions in Tiling"] (PDF). [https://web.archive.org/web/20070418084956/http://comp.uark.edu/~strauss/papers/survey.pdf Archived] (PDF) from the original on 2007-04-18. Retrieved 2007-03-24.}}

בשנת 1996 בנתה פטרה גומלט אריח מעוטר מעוצב והראתה שכאשר מותרים שני סוגים של חפיפות בין זוגות אריחים, האריחים יכולים לכסות את המישור, אך ורק באופן לא מחזורי.{{הערה|Gummelt, Petra (1996). "Penrose Tilings as Coverings of Congruent Decagons". Geometriae Dedicata. 62 (1): 1–17. doi:[https://link.springer.com/article/10.1007/BF00239998 10.1007/BF00239998]. S2CID [https://www.semanticscholar.org/paper/Penrose-tilings-as-coverings-of-congruent-decagons-Gummelt/bf6ad78fa26f8fd5dfff8765a8f85e577f2336f7 120127686].}} בדרך כלל, פירוש המילה ריצוף הוא חיפוי ללא חפיפות, ולכן אריח הגומלט אינו נחשב לפרוטוטיל א-מחזורי. אריח א-מחזורי שנקבע ב[[מישור (גאומטריה)|מישור האוקלידי]] המורכב מאריח אחד בלבד - [[אריח סוקולאר-טיילור]] {{אנ|Socolar–Taylor tile}} - הוצע בתחילת 2010 על ידי ג'ושוע סוקולאר וג'ואן טיילור.{{הערה|Socolar, Joshua E. S.; Taylor, Joan M. (2011). "An Aperiodic Hexagonal Tile". Journal of Combinatorial Theory, Series A. 118 (8): 2207–2231. arXiv:[https://arxiv.org/abs/1003.4279 1003.4279]. doi:[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0097316511000859?via%3Dihub 10.1016/j.jcta.2011.05.001]. S2CID [https://www.semanticscholar.org/paper/An-aperiodic-hexagonal-tile-Socolar-Taylor/e58081f9aa597a75aac1f38c735352488f018787 27912253].}} בנייה זו מחייבת כללים תואמים, כללים המגבילים את הכיוון היחסי של שני אריחים ואשר מתייחסים לעיטורים המצויירים על האריחים, וכללים אלו חלים על זוגות של אריחים לא צמודים. לחלופין, ניתן לבנות אריח לא מעוטר ללא כללים תואמים, אך האריח אינו מחובר. ניתן להרחיב את הקונסטרוקציה לאריח תלת מימדי מחובר ללא כללים תואמים, אך אריח זה מאפשר ריצוף מחזורי בכיוון אחד, ולכן הוא א-מחזורי חלש בלבד. יתר על כן, האריח אינו פשוט מחובר.

בשנת 2022, חובב החידות, דייוויד סמית, גילה אריח בצורת "כובע" שנוצר משמונה עותקים של [[דלתון]] 60°–90°–120°–90°, מודבק מקצה לקצה, שנראה היה כמרצף את המישור רק מדי פעם.{{הערה|Klarreich, Erica (4 Apr 2023). [https://www.quantamagazine.org/hobbyist-finds-maths-elusive-einstein-tile-20230404/ "Hobbyist Finds Math's Elusive 'Einstein' Tile"]. Quanta.}} סמית' גייס עזרה מהמתמטיקאים קרייג ס. קפלן, ג'וזף סמואל מאיירס וחיים גודמן-שטראוס, ובשנת 2023 פרסמה הקבוצה הדפסה מוקדמת המוכיחה ש"הכובע", כאשר הוא מורכב עם תמונת המראה שלו, יוצר מערכת פרוטוטיל א-מחזורית.{{הערה|Smith, David; Myers, Joseph Samuel; Kaplan, Craig S.; Goodman-Strauss, Chaim (Mar 2023). "An aperiodic monotile". arXiv:[https://arxiv.org/abs/2303.10798 2303.10798] [[https://arxiv.org/archive/math.CO math.CO]].}}{{הערה|Lawson-Perfect, Christian; Steckles, Katie; Rowlett, Peter (22 Mar 2023). [https://aperiodical.com/2023/03/an-aperiodic-monotile-exists/ "An aperiodic monotile exists!"]. The Aperiodical.}} יתר על כן, ניתן להכליל את "הכובע" למשפחה אינסופית של אריחים עם אותה תכונה א-מחזורית. ההוכחה שלהם ממתינה לביקורת עמיתים ולפרסום רשמי.{{הערה|Conover, Emily (24 Mar 2023). [https://www.sciencenews.org/article/mathematicians-discovered-einstein-tile "Mathematicians have finally discovered an elusive 'einstein' tile"]. Science News. Retrieved 2023-03-25.}}{{הערה|Roberts, Siobhan (29 Mar 2023). [https://www.nytimes.com/2023/03/28/science/mathematics-tiling-einstein.html "Elusive 'Einstein' Solves a Longstanding Math Problem"]. New York Times. Retrieved 2023-03-29.}}

הוכחת קיומו של אריח איינשטיין כך שהריצוף אינו כרוך בתמונות מראה היא בעיה בלתי פתורה.


== הערות שוליים ==
== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}
{{הערות שוליים}}

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [https://cs.uwaterloo.ca/~csk/hat/ An aperiodic monotile] by Smith, Myers, Kaplan, and Goodman-Strauss
* [https://www.globes.co.il/news/article.aspx?did=1001445636 איך הצליח חובב חידות לפתור בעיה שהעסיקה מתמטיקאים במשך עשורים] - גלי וינרב, גלובס 5.5.23


[[קטגוריה:בעיות פתוחות בגאומטריה|איינ]]
[[קטגוריה:בעיות פתוחות בגאומטריה|איינ]]

גרסה מ־11:56, 6 במאי 2023

בעיות פתוחות במתמטיקה:

בעיית איינשטיין היא מונח בגאומטריה של המישור ושואלת לגבי קיומו של אריח יחיד אשר כשלעצמו מהווה קבוצה של אריחים אפריודיים, כלומר, צורה שיכולה לרצף את המישור, אבל רק באופן מונופריודי. צורה כזו נקראת "איינשטיין" (אין להתבלבל עם הפיזיקאי אלברט איינשטיין), ומשמעותה נובע ממשחק המילים הגרמניות איינ (אחד) שטיין (אריח). בהתאם להגדרות הספציפיות של אי-פריודיות, והגדרות אילו קבוצות עשויות לענות לגדרת אריחים ואילו סוגי כללי התאמה מותרים, הבעיה פתוחה או סגורה. ניתן לראות את בעיית איינשטיין כהרחבה טבעית של החלק השני של הבעיה השמונה-עשרה של הילברט, המבקשת פוליהדרון יחיד המרצף את המרחב האוקלידי התלת ממדי, אך כזה שאין ריצוף של רצפה בעזרת הפוליהדרון הוא איזוהדרלי.[1] אריחים אניזו-הדרליים כאלה נמצאו על ידי קארל ריינהרדט בשנת 1928, אך אריחים אניזו-הדרליים אלו מרצפים במחזוריות את המרחב.

פתרונות מוצעים

"אריח סוקולאר-טיילור" הוא פתרון מוצע לבעיית איינשטיין.
אחד מהמשפחה האינסופית של אריחי סמית'-מאיירס-קפלן-גודמן-שטראוס. אריחים צהובים הם הגרסאות המשתקפות של האריחים הכחולים.

בשנת 1988, פיטר שמיט גילה פרוטוטיל א-מחזורי יחיד במרחב האוקלידי התלת-ממדי. בעוד שאף ריצוף על ידי פרוטוטיל זה לא אפשר הזזה כסימטריה, לחלקם יש סימטריה של בורג (אנ'). פעולת ההברגה כוללת שילוב של הזזה וסיבוב דרך כפולה אי-רציונלית של π, כך ששום מספר של פעולות חוזרות אינן מניבות הזזה טהורה. בנייה זו הורחבה לאחר מכן על ידי ג'ון הורטון קונוויי ולודוויג דנצר לקבוצה קמורה א-מחזורית, אריח שמיט-קונווי-דנזר (אנ'). נוכחות הסימטריה של הבורג הביאה להערכה מחדש של הדרישות לאי-מחזוריות.[2] חיים גודמן-שטראוס (אנ') הציע כי ריצוף ייחשב מאוד א-מחזורי אם הוא לא מאפשר בשום קבוצה מחזורית אינסופית של תנועות אוקלידיות (אנ') כסימטריות, ושרק קבוצות אריחים האוכפות א-מחזוריות חזקה ייקראו א-מחזוריות חזקה, בעוד שקבוצות אחרות ייקראו א-מחזוריות חלשה.[3]

בשנת 1996 בנתה פטרה גומלט אריח מעוטר מעוצב והראתה שכאשר מותרים שני סוגים של חפיפות בין זוגות אריחים, האריחים יכולים לכסות את המישור, אך ורק באופן לא מחזורי.[4] בדרך כלל, פירוש המילה ריצוף הוא חיפוי ללא חפיפות, ולכן אריח הגומלט אינו נחשב לפרוטוטיל א-מחזורי. אריח א-מחזורי שנקבע במישור האוקלידי המורכב מאריח אחד בלבד - אריח סוקולאר-טיילור (אנ') - הוצע בתחילת 2010 על ידי ג'ושוע סוקולאר וג'ואן טיילור.[5] בנייה זו מחייבת כללים תואמים, כללים המגבילים את הכיוון היחסי של שני אריחים ואשר מתייחסים לעיטורים המצויירים על האריחים, וכללים אלו חלים על זוגות של אריחים לא צמודים. לחלופין, ניתן לבנות אריח לא מעוטר ללא כללים תואמים, אך האריח אינו מחובר. ניתן להרחיב את הקונסטרוקציה לאריח תלת מימדי מחובר ללא כללים תואמים, אך אריח זה מאפשר ריצוף מחזורי בכיוון אחד, ולכן הוא א-מחזורי חלש בלבד. יתר על כן, האריח אינו פשוט מחובר.

בשנת 2022, חובב החידות, דייוויד סמית, גילה אריח בצורת "כובע" שנוצר משמונה עותקים של דלתון 60°–90°–120°–90°, מודבק מקצה לקצה, שנראה היה כמרצף את המישור רק מדי פעם.[6] סמית' גייס עזרה מהמתמטיקאים קרייג ס. קפלן, ג'וזף סמואל מאיירס וחיים גודמן-שטראוס, ובשנת 2023 פרסמה הקבוצה הדפסה מוקדמת המוכיחה ש"הכובע", כאשר הוא מורכב עם תמונת המראה שלו, יוצר מערכת פרוטוטיל א-מחזורית.[7][8] יתר על כן, ניתן להכליל את "הכובע" למשפחה אינסופית של אריחים עם אותה תכונה א-מחזורית. ההוכחה שלהם ממתינה לביקורת עמיתים ולפרסום רשמי.[9][10]

הוכחת קיומו של אריח איינשטיין כך שהריצוף אינו כרוך בתמונות מראה היא בעיה בלתי פתורה.

הערות שוליים

  1. ^ Senechal, Marjorie (1996) [1995]. Quasicrystals and Geometry (corrected paperback ed.). Cambridge University Press. pp. 22–24. ISBN 0-521-57541-9.
  2. ^ Radin, Charles (1995). "Aperiodic tilings in higher dimensions". Proceedings of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 123 (11): 3543–3548. doi:10.2307/2161105. JSTOR 2161105. MR 1277129.
  3. ^ Goodman-Strauss, Chaim (10 Jan 2000). "Open Questions in Tiling" (PDF). Archived (PDF) from the original on 2007-04-18. Retrieved 2007-03-24.
  4. ^ Gummelt, Petra (1996). "Penrose Tilings as Coverings of Congruent Decagons". Geometriae Dedicata. 62 (1): 1–17. doi:10.1007/BF00239998. S2CID 120127686.
  5. ^ Socolar, Joshua E. S.; Taylor, Joan M. (2011). "An Aperiodic Hexagonal Tile". Journal of Combinatorial Theory, Series A. 118 (8): 2207–2231. arXiv:1003.4279. doi:10.1016/j.jcta.2011.05.001. S2CID 27912253.
  6. ^ Klarreich, Erica (4 Apr 2023). "Hobbyist Finds Math's Elusive 'Einstein' Tile". Quanta.
  7. ^ Smith, David; Myers, Joseph Samuel; Kaplan, Craig S.; Goodman-Strauss, Chaim (Mar 2023). "An aperiodic monotile". arXiv:2303.10798 [math.CO].
  8. ^ Lawson-Perfect, Christian; Steckles, Katie; Rowlett, Peter (22 Mar 2023). "An aperiodic monotile exists!". The Aperiodical.
  9. ^ Conover, Emily (24 Mar 2023). "Mathematicians have finally discovered an elusive 'einstein' tile". Science News. Retrieved 2023-03-25.
  10. ^ Roberts, Siobhan (29 Mar 2023). "Elusive 'Einstein' Solves a Longstanding Math Problem". New York Times. Retrieved 2023-03-29.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא בעיית איינשטיין בוויקישיתוף   המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/w/index.php?title=בעיית_איינשטיין&oldid=36248336"