גאומטריה

גאומטריה היא ענף של המתמטיקה העוסק בצורות ובמבנים, ובהם הישויות: נקודות, מעגלים, קווים ישרים, עקומות, משטחים ופאונים.

על פי רוב עוסקים בגאומטריה בהוכחת טענות לגבי הישויות בעזרת משפטים, המתבססים על אקסיומות. דוגמה למשפטים גאומטריים מהווים משפטי חפיפה. דוגמאות לאקסיומות מופיעות בערך נקודה.

המבנים היסודיים של הגאומטריה (בדרך כלל, נקודה, קו ישר, מישור, ולעתים גם הזווית והמרחק) מתוארים באמצעות האקסיומות שהם מקיימים. גישה כזו אינה מסתפקת בתאור שיטות ואבחנות גאומטריות, אלא מתארת במפורש את הנחות היסוד (האקסיומות), וגוזרת מהן בדרך של הוכחה את המשפטים המתייחסים לאותם מבנים.

היסטוריה של הגאומטריה

איורי גופים גאומטריים, מתוך ציקלופדיית צ'יימברס

גאומטריה היא מענפי המתמטיקה העתיקים ביותר. הגאומטריה התחילה להתפתח במזרח אסיה ובמצרים העתיקה. היוונים הקדמונים עסקו בה בהרחבה והביאו אותה לכדי מיצוי. הבסיס והמבוא השיטתי לה, מופיע בספריו של אוקלידס "יסודות".

המלה "גאומטריה" באה מלשון גאיה - אלת האדמה במיתולוגיה היוונית ומטריה - מדידה. מקור זה מעיד על שורשיה המעשיים של הגאומטריה - מדידת חלקות אדמה, אך כבר היוונים הקדמונים הפכו את הגאומטריה למדע עיוני העומד בפני עצמו, שאינו זקוק לתמריצים חיצוניים. המחשת המשמעות העיונית, המנותקת מצרכים מעשיים, של הגאומטריה, ניתנת, למשל, בבעיות בנייה בסרגל ומחוגה בלבד. מובן שלצרכים מעשיים אין משמעות למגבלה זו - לצרכים מעשיים נרשה לעצמנו להשתמש בכלים נוספים, ולא נגביל עצמנו לסרגל ומחוגה בלבד.

התאור הראשון של הגאומטריה שבו נעשה מאמץ לדייק בניסוחים ולהניח תשתית אקסיומטית הוא סדרת הספרים (מגילות) "יסודות" של אוקלידס, במאה השלישית לפני הספירה (להרחבה בנושא זה, ראו גאומטריה אוקלידית). יצירתו של אוקלידס הציבה רף גבוה של קפדנות מתמטית, ובמשך יותר מאלפיים שנה לא הורגש צורך לשפר את הטיפול במושגי היסוד הגאומטריים. במשך השנים נעשו נסיונות רבים להוכיח את אקסיומת המקבילים מתוך האקסיומות האחרות. נסיונות אלה נכשלו כולם, עד שהביאו בסופו של דבר, בשליש הראשון של המאה ה-19, לפיתוח הגאומטריות הלא-אוקלידיות.

בסוף המאה ה-19, במקביל לייסוד תורת הקבוצות, הוברר שהמערכת של אוקלידס אינה עומדת בסטנדרטים המודרניים. לדוגמה, הוא מתייחס למושגים כמו חפיפה או השוואה של זוויות כמושגים 'טבעיים', והאקסיומות שלו אינן מפרטות את תכונותיהם. בפרט, גישה זו אינה מספיקה לתאור הגאומטריה האוקלידית כשפה מסדר ראשון.

כמענה לבעיה זו, פיתח הילברט מערכת אקסיומטית חלופית, מערכת האקסיומות של הילברט שבה עשרים אקסיומות. כבר מאז עבודתו של דקארט היה ברור שאפשר לבסס את הגאומטריה על בניות אנליטיות כמו הישר הממשי ומערכת הצירים הקרטזית. הבנה זו התחזקה אחרי שהאנליזה עצמה נוסחה במונחי תורת הקבוצות האקסיומטית. היום משתמשים בגישה אקסיומטית כדי לתאר גאומטריות חלופיות, כמו למשל גאומטריה פרויקטיבית סופית והגאומטריה של בניינים. למרות שבגאומטריה האוקלידית נוח יותר לטפל בדרכים אחרות, מקומן של האקסיומות של אוקלידס כאבן פינה בהתפתחות המתמטיקה, מובטח לדורות.

כמו כן, התפתחה במאה ה-19 גאומטריה דיפרנציאלית, עליה התבססה מאוחר יותר תורת היחסות של אלברט איינשטיין.

התפתחות נוספת בגאומטריה המודרנית היא פיתוחה של הגאומטריה הלא קומוטטיבית. מכיוון שמבנים גאומטרים רבים ניתנים לתיאור אלגברי כמבנים קומוטטיבים הרי שפעמים רבות ניתן לראות במבנים אלגברים לא קומוטטיבים הכללה גאומטרית של המבנים הקומוטטיבים ובכך לקבל גם להם תמונה גאומטרית. לדוגמה: מאחר שמרחב הפונקציות הרציפות המתאפסות באינסוף על מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית מהווה אלגברת סי כוכב קומוטטיבית, ומאחר שניתן להראות (משפט הייצוג של גלפנד) שכל אלגברת סי כוכב קומוטטיבית היא מהצורה הזו, הרי שניתן לראות באלגברת סי כוכב לא קומוטטיבית כמודל למושג המופשט מרחב טופולוגי לא קומוטטיבי.

מונחים

• ישר - קו (חד-ממדי) הנמשך לאינסוף משני קצוותיו.
  • ישרים חותכים - שני ישרים שנפגשים עד האינסוף.
  • ישרים מאונכים - ישרים חותכים שהזווית ביניהן היא 90 מעלות.
  • ישרים מקבילים - ישרים שלעולם לא ייפגשו
• קרן - קו היוצא מנקודה ונמשך לאינסוף מקצה אחד.
• קטע - קו התחום בשתי קצוות.
• צורה - אוסף נקודות במישור או במרחב.
  • צורה מישורית (ראו גוף סיבוב) - אוסף נקודות שיוצרות צורה דו-ממדית.
  • צורה מרחבית - אוסף נקודות במרחב.
  • צורה פתוחה - צורה שלה קצוות שאינן סגורים.
  • צורה סגורה - צורה חסרת קצוות.
• זווית - גודל המפתח בין שתי קרניים להן קודקוד משותף.
  • זווית חדה - זווית הקטנה מ-90 מעלות.
  • זווית ישרה - זווית השווה ל-90 מעלות.
  • זווית קהה - זווית גדולה מ-90 מעלות.
  • זווית שטוחה - זווית השווה ל-180 מעלות.
  • זווית נישאה - זווית הגדולה מ-180 מעלות.
  • זוויות משלימות - זוג זוויות שסכומן 90 או 180 מעלות.
• מצולע - צורה סגורה המורכבת מקטעים ישרים.
  • מצולע קמור - מצולע שכל זויותיו קטנות מ-180.
  • מצולע קעור - מצולע שיש לו לפחות זווית אחת הגדולה מ-180.
  • מצולע שווה-צלעות - מצולע שכל זוויותיו שוות.
  • מצולע משוכלל - מצולע שכל צלעותיו וזוויותיו שוות.
  • אלכסון - קטע המחבר שני קוקוקים במצולע.
  • משולש - מצולע בעל 3 צלעות.
    • משולש חד-זווית - משולש שכל זוויותיו חדות.
    • משולש ישר-זווית - משולש בעל זווית ישרה.
    • משולש קהה-זווית - משולש בעל זווית קהה.
    • משולש שווה-שוקיים - משולש ששתיים מצלעותיו שוות.
    • משולש שווה-צלעות - משולש שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו 60 מעלות.
  • מרובע - מצולע בעל 4 צלעות..
    

    

    היררכיית המרובעים
    • טרפז - מרובע בעל זוג צלעות מקבילות.
      • טרפז שווה-שוקיים - טרפז שאלכסוניו שווים.
      • טרפז ישר-זווית - זוויות של שוק אחת ישרות.
    • דלתון - בעל שני זוגות שונים של צלעות סמוכות שוות.
    • מקבילית - מרובע בעל שני זוגות צלעות נגדיות שוות ומקבילות.
    • מעוין - מצולע שכל צלעותיו שוות.
    • מלבן - מקבילית שכל זוויותיה תשעים.
    • ריבוע - מרובע משוכלל.
  • מחומש - מצולע בעל חמש צלעות.
  • משושה - מצולע בעל שש צלעות.
  • משובע - מצולע בעל שבע צלעות.
  • מתומן - מצולע בעל שמונה צלעות.
  • ריבועון - מצולע אשר בתוכו 5 ריבועים שווים הנוגעים זה בזה בצלע שלמה
• גאומטריה אקויפורמית - גאומטריה העוסקת בטרנספורמציות דומות, הנלמדת במסגרת גאומטריה אוקלידית. (ראו קישורים חיצוניים)

ראו גם

• גאומטריה אוקלידית
• גאומטריה לא אוקלידית

לקריאה נוספת

• דיבשה אמירה, ביסוס אכסיומתי ליסודות הגאומטריה, הוצאת עם עובד ודביר, 1962.
• אברהם הלוי פרנקל, מבוא למתמטיקה - בעיות ושיטות מן המתמטיקה החדישה, כרך שני: האינסוף והמרחב, חטיבה שנייה: גאומטריה, הוצאת מסדה, 1954.

קישורים חיצוניים

• מחשבונים גאומטריים

• מילון מונחים בגאומטריה, באתר משרד החינוך.
• על גאומטריה אקויפורמית: כאן,
• הדגמה ויזואלית של המשפטים בגאומטריה אוקלידית (הנדסת המישור) לבחינת הבגרות במתמטיקה, לפי רשימת משרד החינוך – אתר המרכז לתכנון לימודים, מכללת קיי