קבוצה קמורה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Disambig RTL.svg המונח "קמורה" מפנה לכאן. לערך העוסק בארגון פשע איטלקי, ראו קאמורה.
קבוצה קמורה
קבוצה לא קמורה

במתמטיקה, קבוצת נקודות במרחב וקטורי היא קמורה אם לכל שתי נקודות שבתוכה, גם הקטע המחבר את שתי הנקודות נמצא כולו בתוכה. למשל, משולש, עיגול או מקבילית הן צורות קמורות, אבל טבעת או פרסה אינן צורות קמורות.

מושג הקמירות מופיע גם בהקשר של פונקציות. הגדרה שקולה לפונקציה קמורה היא פונקציה כך שקבוצת הנקודות שנמצאות מעל הגרף שלה היא קבוצה קמורה. יחד עם זאת, בעוד שבפונקציות קיים המושג הנגדי פונקציה קעורה, אין משמעות למונח "קבוצה קעורה". קבוצה יכולה להיות קמורה או לא-קמורה.

הקמור של קבוצת נקודות הוא הצורה הקמורה הקטנה ביותר שמכילה את הנקודות; הקמור הוא החיתוך של כל הקבוצות הקמורות שמכילות את קבוצת הנקודות.

לקמירות שימושים ברבים מתחומי המתמטיקה. למשל, בתחום האנליזה הפונקציונלית, אם קבוצה במרחב הילברט כלשהו היא קמורה וסגורה, זה מבטיח שלכל נקודה במרחב קיימת נקודה אחת ויחידה בקבוצה שמרחקה ממנה מינימלי. לפי משפט נקודת השבת של בראואר, לכל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית קמורה במרחב האוקלידי אל עצמה, יש נקודת שבת.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ C קבוצה כלשהי במרחב וקטורי ממשי. נאמר כי \ C קמורה אם ורק אם לכל שתי נקודות \ x,y\isin C ולכל \ \lambda\isin \left[0,1\right] מתקיים \ \lambda\cdot x+(1-\lambda)\cdot y\isin C.

במרחבים נורמיים אפשר להכליל את מושג הקמירות לתכונה חזקה יותר. קבוצה K במרחב נורמי נקראת \, \sigma-קמורה או Perfectly Convex אם לכל סדרת מספרים ממשיים חיוביים \ \alpha_1,\alpha_2,\dots שסכומה 1, ולכל סדרת נקודות \ x_1,x_2,\dots\in K מתקיים: \ \sum_{n=1}^{\infty}{\alpha_n x_n} \in K. כל קבוצה סיגמא-קמורה היא קמורה.

קמירות במרחב מטרי[עריכת קוד מקור | עריכה]

את מושג הקמירות אפשר להכליל לכל מרחב מטרי. קבוצה C במרחב מטרי היא קמורה, אם כל שתי נקודות אפשר לחבר על ידי עקום גאודזי (היינו תמונה איזומטרית של קטע) שעובר כולו ב-C. מושג הקמירות הזה מכליל את ההגדרה הקודמת, משום שבמרחב נורמי ממשי עקום גאודזי אינו אלא קטע. תכונה חלשה יותר נקראת קמירות מנגר (Menger), ודורשת רק שלכל שתי נקודות (שונות) x,y ב-C תהיה קיימת נקודה z ב-C הנמצאת ביניהן (כלומר \ d(x,z)+d(z,y) = d(x,y), כאשר d היא המטריקה של המרחב). קבוצה קמורה היא גם קמורת-מנגר, אבל לא להיפך. עם זאת, במרחב מטרי שלם, המושגים מתלכדים.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]