אינדוקציה טרנספיניטית

אינדוקציה טרנספיניטית היא הכללה של האינדוקציה המתמטית, מהמספרים הטבעיים, אל קבוצות סדורות היטב (כלומר, מסודרות בסדר טוב) ככלל.

עקרון האינדוקציה הטרנספיניטית: תהא X קבוצה סדורה היטב. תהא X⊇A, A לא ריקה. אם מתקיים כי k|k<x}⊆A ⇒ x∈A}, אזי נובע כי A=X.

או בכתיבה מתמטית: $\forall x \in X ~~ (\forall y ~~ , y < x \Rrightarrow y \in A) \Rrightarrow x \in A$

הוכחה: נניח בשלילה ש A≠X, אזי קיים איבר x₀∈X אבל x₀∉A. כעת נוכל לדבר על תת-קבוצה נוספת של X, נקרא לה לשם הדיון - S. S={x∈X| x לא בעל התכונה P}. כיוון ש-X סדורה היטב, ל- S יש איבר ראשון, b₀. כיוון שb₀ הראשון עבורו התכונה אינה מתקיימת, לכל קודמיו ההנחה כן מתקיימת. לכן, על פי הנחת האינדוקציה, התכונה נכונה גם לb₀. סתירה.

קישורים חיצוניים

• מארק שוורצמן, To infinity and beyond, באתר "מהומה רבה על לא דבר"
• מארק שוורצמן, עוד כמה מילים על סודרים ואינדוקציה טרנספיניטית, באתר "מהומה רבה על לא דבר"

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.