הפרש (תורת הקבוצות)

דיאגרמת ון של הקבוצה $A-B$

בתורת הקבוצות, הפרש של שתי קבוצות $A$ ו־$B$ הוא הקבוצה שמכילה את כל איברי $A$ שלא שייכים ל־$B$. קבוצה זו מסומנת ב־$A-B$ או ב־$A\setminus B$:

$A-B=\left\{x\ |\ x\in A,x\notin B\right\}=A\cap B^{c}$

פעולה ההפרש איננה קיבוצית או חילופית. פעולת ההפרש מקבילה ל"וגם לא" הלוגי. (מדובר באוסף האיברים השייכים לקבוצה $A$ ולא שייכים לקבוצה $B$)

דוגמה

יהיו:

$\mathbb {N}$ – קבוצת המספרים הטבעיים

$\mathbb {N} _{\text{even}}$ – קבוצת המספרים הטבעיים הזוגיים

$\mathbb {N} _{\text{odd}}$ – קבוצת המספרים הטבעיים האי־זוגיים

אזי:

$\mathbb {N} -\mathbb {N} _{\text{even}}=\mathbb {N} _{\text{odd}}$

$\mathbb {N} -\mathbb {N} _{\text{odd}}=\mathbb {N} _{\text{even}}$

$\mathbb {N} _{\text{odd}}-\mathbb {N} _{\text{even}}=\mathbb {N} _{\text{odd}}$

תכונות

$C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$

$C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$

$C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B)$

$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$

$(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)$

$A\setminus A=\emptyset$

$\emptyset \setminus A=\emptyset$

$A\setminus \emptyset =A$

$A\setminus U=\emptyset$

קישורים חיצוניים

• הפרש, באתר MathWorld (באנגלית)