אי-שוויון ינסן

במתמטיקה, אי-שוויון ינסן טוען שממוצע ערכי פונקציה קמורה גדול או שווה לערך הפונקציה בממוצע הנקודות. אי השוויון נקרא על שם המתמטיקאי הדני יוהאן ינסן.

המקרה הבדיד

אם $\ f:(a,b) \to \mathbb{R}$ פונקציה ממשית קמורה המוגדרת על קטע ואם $\ x_1,\dots ,x_n \in (a,b)$ אז מתקיים $f\left ( \frac{x_1 +\dots + x_n}{n}\right ) \leq \frac{f(x_1)+\dots + f(x_n)}{n}$.

אין במשפט דרישה שהנקודות הן שונות. ניתן להשתמש בעובדה זו ולהוכיח הכללה של המשפט שבה הממוצע הרגיל מוחלף בממוצע משוקלל כלשהו.

אם הפונקציה היא קעורה, אי השוויון הוא הפוך.

המקרה הכללי

אם $\ f:(a,b)\to \mathbb{R}$ פונקציה ממשית קמורה ואם $\ \mu$ מידת הסתברות על הקטע אז $f\left ( \int _{(a,b)} x\,d\mu \right ) \leq \int _{(a,b)} f(x)\,d\mu$.

מכאן ניתן לגזור כי עבור $\ g:(a,b)\to \mathbb{R}$ פונקציה ממשית קעורה ואם $\ \mu$ מידת הסתברות על הקטע אז $g\left ( \int _{(a,b)} x\,d\mu \right ) \geq \int _{(a,b)} g(x)\,d\mu$.

שימושים

• אם משתמשים בפונקציה הקמורה $\ \exp$ ומציבים $\ x_i=\log (a_i)$, מקבלים את אי-שוויון הממוצעים $\sqrt[n]{a_1\cdot \dots \cdot a_n}\leq \frac{a_1+ \dots + a_n}{n}$.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.