אי-שוויון ינסן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, אי-שוויון ינסן טוען שממוצע ערכי פונקציה קמורה גדול או שווה לערך הפונקציה בממוצע הנקודות. אי השוויון נקרא על שם המתמטיקאי הדני יוהאן ינסן.

המקרה הבדיד[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם  \ f:(a,b) \to \mathbb{R} פונקציה ממשית קמורה המוגדרת על קטע ואם  \ x_1,\dots ,x_n \in (a,b) אז מתקיים f\left ( \frac{x_1 +\dots + x_n}{n}\right ) \leq \frac{f(x_1)+\dots + f(x_n)}{n} .

אין במשפט דרישה שהנקודות הן שונות. ניתן להשתמש בעובדה זו ולהוכיח הכללה של המשפט שבה הממוצע הרגיל מוחלף בממוצע משוקלל כלשהו.

אם הפונקציה היא קעורה, אי השוויון הוא הפוך.

המקרה הכללי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם  \ f:(a,b)\to \mathbb{R} פונקציה ממשית קמורה ואם \ \mu מידת הסתברות על הקטע אז  f\left ( \int _{(a,b)} x\,d\mu \right ) \leq \int _{(a,b)} f(x)\,d\mu .

מכאן ניתן לגזור כי עבור  \ g:(a,b)\to \mathbb{R} פונקציה ממשית קעורה ואם \ \mu מידת הסתברות על הקטע אז  g\left ( \int _{(a,b)} x\,d\mu \right ) \geq \int _{(a,b)} g(x)\,d\mu .

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.