אי-שוויון הממוצעים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, אי שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע ההנדסי של סדרה סופית של מספרים. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית, ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את האי-שוויון הוכיח אוגוסטין קושי, וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.

באותו שם נקרא גם אי שוויון בין הממוצע ההנדסי לממוצע ההרמוני; יחדיו, טוענים שני האי-שוויונות שלכל קבוצה \ a_1,\dots,a_n של מספרים ממשיים חיוביים, מתקיים \ \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\dots+\frac{1}{a_n}} \leq (a_1 \cdots a_n)^{1/n} \leq \frac{a_1+\dots+a_n}{n}, כלומר הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי, והממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני. בשני המקרים לא מתקיים שוויון, אלא אם כל המספרים \ a_1,a_2,\dots,a_n שווים זה לזה.

רקע[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \ a_1,a_2,\dots,a_n מספרים חיוביים, הרי

  • הממוצע החשבוני שלהם הוא סכומם המחולק ב- n: \ A_n=\frac{a_1+\dots+a_n}{n};
  • הממוצע ההנדסי הוא השורש ה-n-י של מכפלתם: \ G_n=(a_1 \cdots a_n)^{1/n};
  • הממוצע ההרמוני הוא המספר ההופכי לממוצע החשבוני של ההופכיים: \ H_n=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\dots+\frac{1}{a_n}}.

שלושת הביטויים מתאימים, בהקשרים שונים, לשמש כ"ממוצע", למשל בכך ששלושתם נמצאים תמיד בין הערך הקטן ביותר לגדול ביותר בסדרה \ a_1,a_2,\dots,a_n. לפי אי-שוויון הממוצעים, \ H_n\leq G_n \leq A_n. במקרה \ n=2 טענה זו קובעת כי \ \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq  \sqrt{ab} \leq\frac{a+b}{2}.

הוכחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

המקרה n=2[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחה גאומטרית לאי-שוויון הממוצעים במקרה n=2. באדום, הממוצע החשבוני של a ו-b, בתכלת, הממוצע ההנדסי שלהם ובירוק הממוצע ההרמוני שלהם.

נשתמש בעובדה הפשוטה שהריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אי-שלילי:

0\le (a-b)^2= a^2-2ab+b^2=a^2+2ab+b^2-4ab=(a+b)^2-4ab

כלומר:

4ab\le (a+b)^2

ולכן לאחר חלוקה ב-4 ולקיחת שורש:

G_2=\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}=A_2

קל לראות ש-H_2A_2=G_2^2 ולכן מכיוון ש-G_2\le A_2 בהכרח H_2\le G_2.

הוכחתו של קושי[עריכת קוד מקור | עריכה]

קושי הוכיח את האי-שוויון \ G_n \leq A_n בשיטה הנקראת לפעמים "אינדוקציה הפוכה": ראשית, הוא הראה שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בנות n מספרים, אז הוא מתקיים לסדרות בנות 2n מספרים - ולכן, באינדוקציה (רגילה), הוא מתקיים לסדרות בנות \ 2^m מספרים, לכל m. בנוסף לזה, הראה קושי שאם האי-שוויון מתקיים לסדרות בגודל מסוים, אז הוא מתקיים לסדרות קטנות יותר. מכיוון שכל מספר קטן מאיזו-שהיא חזקה של 2, ההוכחה הושלמה.

הצעד הראשון: נניח שהאי-שוויון \ (a_1 \cdots a_n)^{1/n}\leq \frac{a_1+\dots+a_n}{n} מתקיים לכל \ a_1,\dots,a_n חיוביים. אז


\ (a_1\cdots a_{2n})^{1/2n}=\sqrt{(a_1 \cdots a_n)^{1/n}\cdot (a_{n+1}\cdots a_{2n})^{1/n}} \leq


\leq \sqrt{\frac{a_1+\dots+a_n}{n}\cdot \frac{a_{n+1}+\dots+a_{2n}}{n}}\leq


 \leq \frac{\frac{a_1+\dots+a_{n}}{n}+\frac{a_{n+1}+\dots+a_{2n}}{n}}{2}=\frac{a_1+\dots+a_n+a_{n+1}+\dots+a_{2n}}{2n}

כאשר האי-שוויון הראשון נובע מן ההנחה שהאי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל n, והשני מן המקרה \ n=2.

הצעד השני: נניח שהאי-שוויון מתקיים לקבוצות בגודל n; אם נתונים \ a_1,\dots,a_m כאשר \ m<n, נסמן \ \alpha = \frac{a_1+\dots+a_m}{m} ונקבל \ (a_1\cdots a_m \cdot \alpha^{n-m})^{1/n} \leq \frac{a_1+\dots+a_m+(n-m)\alpha}{n} = \alpha, ולכן \ (a_1\cdots a_m)^{1/m} \leq \alpha.

את האי-שוויון \ H_n\leq G_n אפשר להוכיח בדרך דומה.

הוכחה באמצעות אי-שוויון ינסן[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להוכיח את האי-שוויון באמצעות אי-שוויון ינסן, הקובע כי

f\left ( \frac{x_1 +\dots + x_n}{n}\right ) \leq \frac{f(x_1)+\dots + f(x_n)}{n}

לכל פונקציה f קמורה. אם משתמשים בפונקציה \exp , ומציבים  \ x_i=\ln a_i , מתקבל

 \sqrt[n]{a_1\cdot \dots \cdot a_n}\leq \frac{a_1+ \dots + a_n}{n} .

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחת ההכללות החשובות לאי-השוויון מתקבלת מחזרה על כל רכיב \ a_k מספר פעמים, למשל \ p_k. אם \ a_1,\dots,a_n חיוביים כמקודם ו- \ p_1,\dots,p_n שלמים חיוביים וסכומם \ P, אז האי-שוויון הופך להיות

\ \frac{P}{\frac{p_1}{a_1}+\dots+\frac{p_n}{a_n}} \leq (a_1^{p_1} \cdots a_n^{p_n})^{1/P} \leq \frac{p_1a_1+\dots+p_na_n}{P}.

באי-שוויון זה אפשר להחליף את המקדמים \ p_k במספרים חיוביים כלשהם; למשל, כאלה שסכומם \ P=1. כאשר כל המקדמים שווים ל-{1 \over n}, מתקבל אי-שוויון הממוצעים.