גרופואיד

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, גרופואיד הוא קטגוריה קטנה שכל המורפיזמים שלה הם איזומורפיזמים, כלומר הפיכים (מימין ומשמאל).

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ביתר פירוט, גרופואיד \mathcal{G} הוא קטגוריה המורכבת מקבוצה של עצמים X ואוסף מורפיזמים (הנקראים "חצים") ביניהם A עם 2 העתקות s,t : A \to X הנקראות source (מקור) ו-target (מטרה) כך שלכל חץ (מורפיזם) f : x \to y

s(f) = s(x \to y) = x ו-t(f) = t(x \to y)=y.

לכן, אפשר לתאר חץ כמורפיזם מ-x ל-y. סימון מקובל לחץ הוא

f : x \to y או x \stackrel{f}{\longrightarrow} y.

בגרופואיד, כמו כל קטגוריה, קיימת הרכבה של חצים. הרכבה של f ו-g מוגדרת כאשר s(g)=t(f) ואז g \circ f : s(f) \to t(g) הוא חץ (מורפיזם) בקטגוריה. למעשה, ההרכבה היא פעולת כפל עם תחום שהוא מכפלת הסיב

A \times_X A = \left\{ (f,g) \in A \times A \mid t(f)=s(g) \right\}

וטווח שהוא A. הרכבה זו היא פעולה אסוציאטיבית: אם ההרכבה של f,g,h \in A מוגדרת אזי מתקיים h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f .

ישנו גם שיכון של X בתוך A המתאים לכל אובייקט x \in X את מורפיזם הזהות 1_x שמקיים את התכונות המצופות מזהות: לכל f : w \to x מתקיים 1_x \circ f = f ולכל g : x \to y מתקיים g \circ 1_x = g.

לבסוף, אנו דורשים שכל חץ הוא הפיך, כלומר אם f : x \to y הוא חץ בקטגוריה, אז קיים החץ ההפכי f^{-1} : y \to x כך שמתקיים f^{-1} \circ f = 1_x ו-f \circ f^{-1} = 1_y.

את הגרופואיד מסמנים \mathcal{G} : A \rightrightarrows X או \mathcal{G} = \left[ A \rightrightarrows X \right] .

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורה היא גרופואיד עם עצם אחד X = \{ x \} ולכן כל חץ הוא מהצורה f : x \to x וכל החצים ב-A ניתנים להרכבה זה עם זה. קיים איבר יחידה והוא 1_x. לכל חץ f יש הפכי f^{-1}, ולכן זהו גרופואיד.

דוגמה טיפוסית: הקטגוריה שהאובייקטים שלה הם תת-הקבוצות של קבוצה קבועה, והמורמפיזמים הם התאמות חד-חד-ערכיות ועל בין תת-קבוצות. כשמקודדים את התכונות של קטגוריות כאלה לאקסיומות, מתקבלת הגדרה לאובייקט הקרוי גרופואיד אינדוקטיבי; גרופואידים אלה מתאימים באופן טבעי לחבורות למחצה הפיכות.

עוד דוגמה: גרופואיד פעולה G \times X \rightrightarrows X - האובייקטים שלו הם איברי קבוצה X שחבורה G פועלת עליה, והחצים ניתנים על ידי x \to g \cdot x לכל x \in X , g \in G, כלומר: כל חץ הוא זוג סדור (g,x) כך ש-(g,x) : x \to g \cdot x. קל לראות שכל חץ הוא הפיך ו-(g,x)^{-1} = (g^{-1},g \cdot x) = g \cdot x \to g^{-1} \cdot (g \cdot x)=x.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ב-1929 הוכיח H.Brandt שכל גרופואיד קשיר הוא קטגוריה שבה האובייקטים הם קבוצה X והמורפיזמים מ-a ל-b נמצאים בהתאמה לאברים של חבורה קבועה, G. "אלגברת החבורה" של גרופואיד כזה היא אלגברת מטריצות מעל אלגברת החבורה של G.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעבר התייחסה המלה גרופואיד לקבוצה עם פעולה בינארית כלשהי; אובייקט זה מכונה היום מאגמה.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • The algebraic theory of semigroups, A. H. Clifford, G. B. Preston‏.
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.