איבר יחידה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, כאשר על קבוצה מוגדרת פעולה בינארית בין איבריה, איבר יחידה (או איבר נייטרלי או איבר אדיש) הוא איבר בקבוצה שהפעולה המתבצעת אתו ועם איבר אחר בקבוצה אינה משנה את האיבר האחר.

כאשר נתונים קבוצה \ S ופעולה בינארית, שנסמנה \ \star, המוגדרת על איבריה, אזי:

  • איבר \ e\in S ייקרא איבר יחידה שמאלי, אם לכל \ x\in S מתקיים \ e\star x =x.
  • איבר \ e\in S ייקרא איבר יחידה ימני, אם לכל \ x\in S מתקיים \ x\star e =x.

אם \ e הוא איבר יחידה שמאלי וגם איבר יחידה ימני, הוא ייקרא בפשטות איבר היחידה.

נניח כי \ e, e^\prime איברי יחידה, אז \ e = e\star e^\prime = e^\prime ומכאן שאם ישנו איבר יחידה, אז הוא בהכרח יחיד.

נניח כיe_R,e_L איבר יחידה ימיני ואיבר יחידה שמאלי בהתאמה, אז e_L = e_L \star e_R = e_R ומכאן שאם קיימים הן איבר יחידה שמאלי והן איבר יחידה ימני, אז הם אותו איבר.

במבנים אלגבריים רבים, כגון חבורה, חוג ושדה, קיומו של איבר יחידה הוא אחד המאפיינים של המבנה האלגברי.

דוגמאות