פעולת חבורה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

אחד הרעיונות היסודיים בתורת החבורות הוא הפעולה של חבורה על קבוצה. היכולת של חבורות לפעול על מבנים מתמטיים שונים היא הסיבה העיקרית לכך שתורת החבורות שימושית כל-כך בענפים שונים במתמטיקה. גם בתורת החבורות עצמה, פעולה של חבורה על קבוצות בעלי מבנה מוגדר מראש היא כלי מרכזי בחקר המבנה של חבורות, סופיות וגם אינסופיות.

אומרים שחבורה נתונה G פועלת על קבוצה X, אם אפשר לפרש כל איבר של החבורה כאילו הוא מהווה פונקציה מן הקבוצה אל עצמה, באופן כזה שכפל האיברים בחבורה מתאים להרכבה של פונקציות, ואיבר היחידה של החבורה פועל 'באופן טריוויאלי' (כלומר מעביר כל איבר של X לעצמו).

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כפי שהוצג במבוא, חבורה פועלת על קבוצה אם כל איבר שלה מתפרש כפונקציה מן הקבוצה אל עצמה. מכיוון שכל איבר של חבורה הוא הפיך, גם הפונקציות המתאימות הן הפיכות, כלומר חד-חד-ערכיות ועל.

לחבורה של כל הפונקציות ההפיכות מקבוצה X אל עצמה קוראים 'החבורה הסימטרית של X', ומסמנים ב- \ S_X. זוהי הכללה של המקרה הסופי, בו מקובל לדבר על החבורה הסימטרית שסימונה \ S_n. אם כך, אפשר להבין פעולה של חבורה G על קבוצה X גם כהומומורפיזם של G לתוך החבורה הסימטרית של X. כשההעתקה הזו חד-חד-ערכית רק איבר היחידה של G פועל באופן טריוויאלי על X, והפעולה נקראת נאמנה.

להלן הגדרה שקולה, מפורטת יותר. פעולה של החבורה G על הקבוצה X היא פונקציה \ \phi: G\times X \rightarrow X המקיימת:

  • \ \phi(1,x)=x, (איבר היחידה פועל בצורה הטריוויאלית)

לשם הקיצור, לרוב מסמנים את הפעולה ב \ g\cdot x או \ g(x) במקום \ \phi(g,x).

פעולה שמאלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

פעולה של חבורה G על קבוצה X, שנסמן G \times X \ni (g,x) \mapsto g \cdot x \in X, נקראת פעולה שמאלית אם היא מקיימת:

  • \forall x \in X : 1_G \cdot x = x
  • \forall g,h \in G : \forall x \in X : \quad g \cdot (h \cdot x) = gh \cdot x

פעולה ימנית[עריכת קוד מקור | עריכה]

פעולה של חבורה G על קבוצה X, שנסמן X \times G \ni (x,g) \mapsto x \bullet g , נקראת פעולה ימנית אם היא מקיימת:

  • \forall x \in X : x \bullet 1_G = x
  • \forall g,h \in G : \forall x \in X : \quad (x \bullet g) \bullet h = x \bullet gh

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר להבחין בין כמה סוגים של פעולות חשובות. ראשית, חבורה יכולה לפעול על קבוצה חסרת מבנה (בדרך כלל סופית), או על חבורה אחרת. לדוגמה, החבורה הסימטרית \ S_n פועלת על קבוצת המספרים \ \{1,2,\dots,n\}. כל חבורה G פועלת על עצמה, על ידי כפל משמאל: \ g(h)=gh. פעולה זו נקראת הפעולה הרגולרית. באופן כללי יותר, אם \ H\leq G תת חבורה (שאינה בהכרח נורמלית), G פועלת על אוסף הקוסטים \ G/H, שוב על ידי כפל משמאל: \ g(g'H)=gg'H. לפעולה זו יש יישום מיידי במשפט קיילי והעידון שלו. פעולה חשובה אחרת היא ההצמדה: G פועלת על עצמה לפי \ g : x \mapsto gxg^{-1}. באופן כללי יותר, G פועלת על ידי הצמדה על כל חבורת מנה \ G/H: \ g : xH \mapsto g x g^{-1} H.

פעולה מסוג קצת אחר היא הפעולה של חבורה על קבוצה בעלת מבנה, כמו מרחב וקטורי או מרחב טופולוגי. כאן דורשים כמעט תמיד שהחבורה תכבד את המבנה הקיים: איברי החבורה אינם יכולים להיות סתם פונקציות, אלא למשל פונקציות לינאריות (במקרה הראשון) או רציפות (במקרה השני). במקרה הראשון ההצגה אינה סתם הומומורפיזם של החבורה אל החבורה הסימטרית של כל הווקטורים במרחב (חבורה זו הורסת לחלוטין את המבנה החיבורי, ולכן אין לה שום חשיבות), אלא אל החבורה של כל הטרנספורמציות הלינאריות ההפיכות \ GL(V), שהיא חבורת המטריצות ההפיכות \ GL_n(F) (כאשר n הוא ממד המרחב מעל שדה F). החבורה פועלת על הווקטורים על ידי כפל מטריצות רגיל. הפעולות השונות של חבורה על מרחבים וקטוריים (בדרך כלל מממד סופי) הם האובייקט היסודי בתורת ההצגות של חבורות, שממנה צמחו רוב המשפטים החשובים בתורת החבורות בשליש האמצעי של המאה העשרים. פעולות על מרחבים טופולוגיים הם נקודת הפתיחה של הטופולוגיה האלגברית.

כדוגמה נוספת, חבורה יכולה לפעול על קבוצת הקודקודים של גוף מישורי או מרחבי, תחת האילוץ שהגוף יתפוס בסיום הפעולה את אותו המקום שתפס לפניה. לדוגמה, חבורה הפועלת על קודקודיו של מצולע משוכלל בעל n קודקודים היא תת-חבורה של החבורה הסימטרית \ S_n, שאיבריה שומרים על יחסי השכנות של קודקודי המצולע. הפעולות המותרות הן סיבוב או שיקוף המצולע. חבורה זו נקראת החבורה הדיהדרלית מסדר 2n.

מסלולים ומייצבים[עריכת קוד מקור | עריכה]

פעולת החבורה על \ X מחלקת את הקבוצה למחלקות שקילות הנקראות מסלולים: המסלול של נקודה \ x\in X, המסומן \operatorname{Orb}_G(x) או \ G x = G \cdot x כולל את כל הנקודות שניתן להגיע אליהן מ \ x בעזרת אברי \ G. כלומר כל הנקודות \ G \cdot x = \{ g \cdot x | g\in G\}\subseteq X. אם הקבוצה מורכבת כולה ממסלול יחיד (כלומר, אפשר להגיע מכל נקודה לכל נקודה אחרת), אז הפעולה היא טרנזיטיבית.

המייצב של נקודה \ x\in X הוא אוסף כל האברים ב-G השומרים על x במקומו: \ \operatorname{Stab}_G(x) = \{g\in G| g \cdot x =x\} (לעתים מסמנים גם G_x = \operatorname{Stab}_G(x)).

המייצב של כל נקודה הוא תמיד תת-חבורה של G, ומשפט מסלול-מייצב קובע כי גודל המסלול של x תלוי בגודלו של המייצב: כאשר החבורה סופית מתקיים |G \cdot x|=[G:\operatorname{stab}(x)].‏[1] כמו כן, אם y=gx נמצא במסלול של x אז המייצב של x צמוד למייצב של y: \operatorname{Stab}(y)=g \cdot \operatorname{Stab}(x) \cdot g^{-1}. בפרט, אם הפעולה טרנזיטיבית אז כל המייצבים צמודים זה לזה.

הלמה של ברנסייד קושרת את האינדקסים של מייצבים בחבורה למספר המסלולים.


ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ לא קשה לראות כי ההעתקה  gG_x  \mapsto gx היא חד-חד ערכית ועל, ולפיכך גדלי התחום, [G:G_x] , והטווח, |O(x)|, שווים.