גרעין (אלגברה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה מופשטת, הגרעין של הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים הוא אוסף האברים שההומומורפיזם מעביר אל האיבר הנייטרלי. הגרעין הוא תת-מבנה של המבנה שממנו מוגדר ההומורפיזם, וחלות עליו גרסאות שונות של משפט האיזומורפיזם הראשון, על-פי סוג המבנה שבו מדובר. נהוג לסמן את הגרעין של העתקה f : A \to B ב-\operatorname{Ker}(f) או \ker (f).

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם \ T : V \rightarrow W הומומורפיזם של מרחבים וקטוריים, הגרעין שלו \ \operatorname{Ker}(T) = \{v \in V: T(v) = 0\} הוא תת-מרחב של \ V, שממדו \ \dim(V) - \operatorname{rank}(T).
  • אם \ f: G\rightarrow H הומומורפיזם של חבורות, הגרעין \ \operatorname{Ker}(f) = \{x\in G: f(v) = 1\} הוא תת-חבורה נורמלית, וחבורת המנה \ G/\operatorname{Ker}(f) איזומורפית לתמונה \ \operatorname{Im}(f).
  • אם \ f: R\rightarrow S הומומורפיזם של חוגים, הגרעין \ \operatorname{Ker}(f) = \{x\in R: f(v) = 0\} הוא אידאל דו-צדדי, וחוג המנה \ R/\operatorname{Ker}(f) איזומורפי לתמונה \ \operatorname{Im}(f).
  • אם \ f: M\rightarrow N הומומורפיזם של מודולים מעל חוג R, הגרעין \ \operatorname{Ker}(f) = \{x\in M: f(v) = 0\} הוא תת-מודול של \ M, ומודול המנה \ M/\operatorname{Ker}(f) איזומורפי לתמונה \ \operatorname{Im}(f).
  • ניתן להגדיר גרעין גם עבור קבוצה עם נקודה (pointed set). אם f : (X,x_0) \to (Y, y_0) פונקציה בין קבוצות עם נקודות אז \operatorname{Ker}(f) = \{ x \in X \ : \ f(x)=y_0 \}.

ההכללה המשותפת למקרים אלה נתונה בתורת הקטגוריות על ידי מושג הגרעין הקטגורי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]