גרעין (אלגברה)

באלגברה מופשטת, הגרעין של הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים הוא אוסף האברים שההומומורפיזם מעביר אל האיבר הנייטרלי. הגרעין הוא תת-מבנה של המבנה שממנו מוגדר ההומורפיזם, וחלות עליו גרסאות שונות של משפט האיזומורפיזם הראשון, על-פי סוג המבנה שבו מדובר.

דוגמאות

• אם $\ T : V \rightarrow W$ הומומורפיזם של מרחבים וקטוריים, הגרעין שלו $\ \operatorname{Ker}(T) = \{v \in V: T(v) = 0\}$ הוא תת-מרחב של $\ V$, שממדו $\ \dim(V) - \operatorname{rank}(T)$.
• אם $\ f: G\rightarrow H$ הומומורפיזם של חבורות, הגרעין $\ \operatorname{Ker}(f) = \{x\in G: f(v) = 1\}$ הוא תת-חבורה נורמלית, וחבורת המנה $\ G/\operatorname{Ker}(f)$ איזומורפית לתמונה $\ \operatorname{Im}(f)$.
• אם $\ f: R\rightarrow S$ הומומורפיזם של חוגים, הגרעין $\ \operatorname{Ker}(f) = \{x\in R: f(v) = 0\}$ הוא אידאל דו-צדדי, וחוג המנה $\ R/\operatorname{Ker}(f)$ איזומורפי לתמונה $\ \operatorname{Im}(f)$.
• אם $\ f: M\rightarrow N$ הומומורפיזם של מודולים מעל חוג R, הגרעין $\ \operatorname{Ker}(f) = \{x\in M: f(v) = 0\}$ הוא תת-מודול של $\ M$, ומודול המנה $\ M/\operatorname{Ker}(f)$ איזומורפי לתמונה $\ \operatorname{Im}(f)$.

ההכללה המשותפת למקרים אלה נתונה בתורת הקטגוריות על ידי מושג הגרעין הקטגורי.

ראו גם

• מרחב פתרונות