גרף מיתרי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הגרפים, גרף מיתרי הוא גרף שבו כל מעגל באורך 4 או יותר מכיל מיתר, שהוא צלע המחברת בין שני צמתים לא-רצופים במעגל. בניסוח אחר, G הוא גרף מיתרי אם אין לו תת גרף מושרה שהוא מעגל באורך 4 או יותר.

משפחת הגרפים המיתריים היא תת-משפחה של הגרפים המושלמים.

צמתים סימפליקליים וסדר הסרה מושלם[עריכת קוד מקור | עריכה]

צומת סימפליקלי (simplicial) הוא צומת שקבוצת השכנים שלו מהווה קליקה. גרף מיתרי תמיד מכיל קדקד סימפליקלי ‏[1][2]. למעשה, גרף מיתרי הוא או קליקה או שהוא מכיל לפחות שני צמתים סימפליקליים שאינם שכנים.

סדר הסרה מושלם (perfect elimination ordering) של גרף, הוא פרמוטציה \pi של קדקדי הגרף כך שלכל קדקד v מתקיים כי v והשכנים של v שמופיעים לאחריו ב-\pi מהווים קליקה. כלומר, \pi= \left\langle v_1,v_2,\cdots,v_n \right\rangle הוא סדר הסרה מושלם אם לכל 1\leq i \leq n מתקיים כי הצומת v_i הוא סימפליקלי בתת הגרף המושרה על \{v_i,v_{i+1},\cdots,v_n\}.

משפט: גרף הוא מיתרי אם ורק אם יש לו סדר הסרה מושלם. ‏[3]

בהסתמך על כך שבגרף מיתרי שאינו קליקה יש שני צמתים סימפליקליים שאינם שכנים, ניתן לזהות גרפים מיתריים על ידי אלגוריתם איטרטיבי שמסיר צמתים מהגרף ויוצר את סדר ההסרה המושלם לאחור.

אלגוריתמים יעילים לגרפים מיתריים[עריכת קוד מקור | עריכה]

גרפים מיתריים הם בפרט מושלמים וככאלה, יש מגוון של בעיות שניתנות לפתרון בזמן פולינומי על גרפים מיתריים. אלא שאלגוריתמים אלו אינם בעלי אופי קומבינטורי, אלא מבוססים על תכנון לינארי ואלגוריתם האליפסואידים. עבור גרפים מיתריים, ידועים אלגוריתמים קומבינטוריים יעילים מאוד. להלן מספר אלגוריתמים יעילם עבור בעיות שידועות כ-NP-קשה על גרפים כלליים. אלגוריתמים אלו מסתמכים על כך שלגרף מיתרי קיים סדר הסרה מושלם. ‏[4]

קליקה מקסימלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן גרף מיתרי G עם סדר הסרה מושלם \pi= \left\langle v_1,v_2,\cdots,v_n \right\rangle , אזי לפי ההגדרה לכל צומת v_i מתקיים כי v_i ביחד עם השכנים שלו שמופיעים אחריו ב-\pi, מהווים קליקה. אם כן, האלגוריתם סורק את צמתי הגרף וכאשר הוא מטפל בצומת v_i הוא סופר את מספר השכנים של v_i אשר מופיעם אחריו ב-\pi, ובוחר את הקליקה הגדולה ביותר מבין כל אלו שנסרקו.

צביעה של גרף מיתרי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן גרף מיתרי G עם סדר הסרה מושלם \pi=\left\langle v_i,v_{i+1},\cdots,v_n \right\rangle , האלגוריתם סורק את צמתי הגרף בסדר הפוך (כלומר מתחיל ב-v_n ומסיים ב-v_1), וצובע את צמתי הגרף באופן חמדני. ביתר פירוט- כאשר האלגוריתם מטפל בצומת v_i הוא צובע אותו בצבע k המינימאלי כך שאף אחד משכניו של v_i אינו צבוע בצבע שמספרו k. קל לראות שאלגוריתם זה מוביל לצביעה במספר מינימאלי של צבעים. נניח בשלילה שלא כך הוא, ונתבונן בגרף מיתרי G ובפעם הראשונה שהאלגוריתם משתמש ביותר צבעים מאשר המינימום ההכרחי. כעת, מאחר ש-G מיתרי, הוא בפרט מושלם ולכן מספר הצביעה של G (כלומר המספר המינימאלי של צבעים שבאמצעותם ניתן לצבוע את G) הוא בדיוק כגודל הקליקה המקסימלית ב-G. אבל אז, משמעות הדבר היא שבחרנו עבור צומת כלשהו את הצבע המינמאלי שאינו בשימוש על ידי אף אחד משכניו, ומספר זה גדול יותר מאשר גודל הקליקה המקסימלית ב-G. זה כמובן לא ייתכן, כי מספר שכניו בהכרח קטן (בלפחות 1) מגודל הקליקה המקסימלית.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Martin Charles Golumbic, Algorithmic graph theory and perfect graphs, Elsevier, 1980.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ C. Lekkerkerker, J. Boland, Representation of a finite graph by a set of intervals on the real line, Fund. Math. 51 (1962) 45-64.
  2. ^ G.A. Dirac., On rigid circuit graphs, 1961 (English)
  3. ^ D. R. Fulkerson and O. A. Gross, Incidence matrices and interval graphs, : Pacific J. Math. Volume 15, Number 3 (1965), 835-855
  4. ^ Fănică Gavril, Algorithms for Minimum Coloring, Maximum Clique, Minimum Covering by Cliques, and Maximum Independent Set of a Chordal Graph, SIAM J. Comput. 1, pp. 180-187 (8) pages, 1972