אם ורק אם

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בלוגיקה מתמטית, אם ורק אם (ראשי תיבות: אם"ם, אנגלית: iff) או "אימוּם" (ובעברית תלמודית: אך ורק אם, או: תנאי כפול) הוא קַשָּׁר לוגי בין שתי טענות השקולות אחת לשנייה במובן שהאחת אמיתית כשהשנייה אמיתית ולהפך. באופן פורמלי זהו קשר בינארי (פונקציה בעלת שני ארגומנטים שכל אחד מהם הוא פסוק) המוגדר בטבלת אמת להלן. סימונו הוא ⇔ (יש המסמנים ↔ או ≡).

כאשר מנסחים תנאים פורמליים במתמטיקה נעשה שימוש בקשר זה כדי להראות שאם תנאי אחד מתקיים, גם השני מתקיים בהכרח (ובאותה המידה אם תנאי אחד אינו מתקיים, גם השני בהכרח אינו מתקיים). בניסוח אחר, אומרים על תנאי A שהוא "הכרחי ומספיק" עבור תנאי B כאשר יש ביניהם קשר של אם ורק אם. (הכרחי - אם A לא מתקיים, B לא מתקיים. מספיק - אם A מתקיים, B מתקיים).

טבלת אמת:

A B A\iff B
שקר שקר אמת
שקר אמת שקר
אמת שקר שקר
אמת אמת אמת

מאפיינים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקשר 'אם ורק אם' הוא קומוטטיבי (הטענה \ A\iff B שקולה לטענה \ B\iff A) ואסוציאטיבי (\ (A\iff B)\iff C אם ורק אם \ A\iff (B\iff C)).

בהוכחות מתמטיות, ניתן להוכיח את הטענה "A אם ורק אם B" באמצעות הוכחת שני המשפטים הבאים:

שיטה נוספת להוכיח משפט מסוג זה היא להראות שהפסוק ((A וגם B) או (לא A וגם לא B)) מתקיים. בניסוח פורמלי: \left(\left(A \and B \right) \or \left(\bar A \and \bar B \right) \right).

חוסר תשומת לב למקומם של הכמתים היא בין השגיאות הלוגיות השכיחות. למשל, אם הטענה A תלויה במשתנה חופשי x, והטענה B אינה תלויה במשתנים, אז הטענה "B מתקיימת אם ורק אם לכל x מתקיים (A(x" שונה בתכלית מן הטענה "לכל x,‏ B מתקיימת אם ורק אם (A(x". אם B נכונה, אז בשני המקרים (A(x נכונה לכל x; אך אם B אינה נכונה, אז הטענה הראשונה קובעת שקיים x שעבורו (A(x אינה מתקיימת, ואילו לפי הטענה השנייה (A(x אינה מתקיימת לאף x.

דוגמאות למשפטי "אם ורק אם" מתחומים מתמטיים שונים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • a גדול ממש מ־b אם ורק אם a לא שווה b וגם a לא קטן ממש מ־b.
  • אדם א' לחץ יד לאדם ב' אם ורק אם אדם ב' לחץ יד לאדם א', שהרי לחיצת ידיים היא פעולה הדדית: אי אפשר ללחוץ יד באופן חד־צדדי.
  • משולש הוא משולש ישר-זווית אם ורק אם סכום שטחי הריבועים שעל שתיים מצלעותיו שווה לשטח ריבוע שעל הצלע השלישית. (משפט פיתגורס)
  • גרף בלתי־מכוון הוא עץ אם ורק אם הוא קשיר וחסר־מעגלים אם ורק אם הוא קשיר מינימלי (הסרת קשת כלשהי מהגרף תבטל את קשירותו) אם ורק אם הוא חסר־מעגלים מקסימלי (הוספה של קשת כלשהי לגרף תיצור מעגל). זוהי שרשרת של טענות.

תנאי הכרחי ומספיק[עריכת קוד מקור | עריכה]

במקום להשתמש בביטוי "אם ורק אם", משתמשים לעתים בביטוי "תנאי הכרחי ומספיק", שמשמעותו שקולה. המשפט "a גדול ממש מ-b אם ורק אם a לא שווה b וגם a לא קטן ממש מ־b" שקול למשפט "תנאי הכרחי ומספיק לכך ש-a גדול ממש מ-b הוא ש-a לא שווה b וגם a לא קטן ממש מ־b". אם נפרק את שני הביטויים למרכיביהם הרי המילה "אם" שקולה ל"תנאי מספיק", והמילים "רק אם" שקולות ל"תנאי הכרחי".

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]