דעיכה מעריכית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
ערך דועך מעריכית. קבועי דעיכה גדולים גורמים לערך לרדת משמעותית מהר יותר. אנו רואים כאן גרפים עם קבועי דעיכה של 25, 5, 1, 1/5 ו1/25.

דעיכה מעריכית היא תכונה של פונקציה שבה ערך הפונקציה יורד באופן מעריכי כתלות במשתנה הבלתי תלוי, כלומר במרווח קבוע ערך הפונקציה יורד פי ערך קבוע.

בכיתוב מתמטי פונציה דועכת מעריכית נכתבת בצורה הכללית:

Y(x) = Y(0) a^{-x}

או עם הלוגריתם הטבעי:

Y(x) = Y(0) e^{-\lambda x}

כמו גם בצורות אחרות, אשר נוחות בתחומים מסוימים.

פיתוח ממשוואה דיפרנציאלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

קצב השינוי של ערך דועך מעריכית עומד ביחס ישר לערכו בכל רגע,

\frac{d}{dt}A(t) = -\lambda A(t)

עבור הערך A(t) תלוי הזמן עם קבוע יחס חיובי \lambda. פתרון משוואה זו על ידי הפרדת משתנים נותן

A(t) = A(0) e^{-\lambda t}.

דעיכת אוכלוסייה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר מדובר בקבוצת חלקיקים הדועכים מעריכית, לדוגמה מרמה אנרגטית גבוהה לרמת בסיס, אם נתבונן בחלקיק בודד (מדובר למעשה בהתפלגות פואסונית), צפיפות ההסתברות של אי דעיכה נתונה על ידי

P(t) = \lambda e^{-\lambda t}

זמן אופייני[עריכת קוד מקור | עריכה]

זמן השהייה הממוצע של חלקיק ברמה עד לדעיכה אם כך נתון על ידי

 \langle t \rangle = \int_0^\infty t \cdot P(t)dt = \int_0^\infty t \cdot \lambda e^{-\lambda t}dt = \frac{1}{\lambda} \equiv \tau,

כאן נעשה שימוש באינטגרציה בחלקים, זמן ממומצע זה נקרא זמן אופייני ומסומן ב\tau. על בסיסו ניתן לכתוב את הפתרון למשוואת הדעיכה כך

A(t) = A(0) e^{-\frac{t}{\tau}}.

לאחר הזמן האופייני הערך יורד לe^{-1} מערכו ההתחלתי.

כאשר מדובר בדעיכה אקספוננציאלית בזמן עם זמן אופייני של \tau, במישור התדר מתקבל לורנציין עם רוחב של \frac{1}{\tau}.

זמן מחצית חיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – זמן מחצית חיים

לאחר זמן זה, יורד הערך למחצית מערכו ההתחלתי. מתוך פתרון משוואת הדעיכה מתקבל כי

t_{0.5} = \frac{ln 2}{\lambda} = \tau\ln 2.