התפלגות קושי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
התפלגות קושי
פונקציית צפיפות ההסתברות
Cauchy distribution pdf.png
פונקציית ההסתברות המצטברת
Cauchy distribution cdf.png
מאפיינים
פרמטרים \ x_0 החציון, \ \gamma סקלה
תומך \ \Bbb{R}
פונקציית הסתברות

(pmf)

פונקציית צפיפות הסתברות

(pdf)

{ 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right]
פונקציית ההסתברות המצטברת

(cdf)

\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}
תוחלת לא מוגדרת
חציון \ x_0
ערך שכיח \ x_0
שוֹנוּת לא מוגדרת
אנטרופיה \ln(4\,\pi\,\gamma)\!
פונקציה יוצרת מומנטים

(mgf)

לא מוגדרת
צידוד לא מוגדר
גבנוניות לא מוגדרת

התפלגות קוֹשִי (Cauchy), על שם המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטן לואי קושי, היא התפלגות רציפה בעלת חשיבות במתמטיקה ובמספר תחומים בפיזיקה. בקרב פיזיקאים ההתפלגות מכונה לעתים פילוג לורנץ (Lorentz), פילוג ברייט-ויגנר (Breit-Wigner) או לורנציאן.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

התפלגות קושי מוגדרת כהתפלגות רציפה בעלת פונקציית צפיפות ההסתברות

\begin{align}
f(x; x_0,\gamma)&= \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \\[0.5em]
&= { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 } \right]
\end{align}

כאשר \ x_0 הוא פרמטר מיקום, אשר קובע את החציון של ההתפלגות, ואילו \ \gamma הוא פרמטר סקלה, אשר קובע את רוחב ההתפלגות.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תכונה יוצאת דופן של התפלגות קושי היא שהתוחלת והשונות שלה אינם מוגדרים, כמו גם המומנטים מסדר גבוה יותר. לעומת זאת, החציון והשכיח מוגדרים ושניהם שווים \ x_0.