משוואה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, משוואה היא דרך לייצג זהות של שני ערכים, המופרדים באמצעות סימן השוויון ("="). לדוגמה, הביטוי $\ 1+1=2$ הוא משוואה מכיוון שהוא מכיל שני ערכים זהים המופרדים באמצעות סימן השוויון. סדר הערכים במשוואה אינו חשוב. כלומר, הביטוי $\ a=b$ זהה לביטוי $\ b=a$ .

משוואה עשויה גם להכיל נעלמים. אם נפעיל פונקציה כלשהי על שני אגפיה של משוואה נכונה, נקבל משוואה נכונה גם כן. בדרך זו אנו יכולים לעתים "לבודד" נעלם, ועל ידי כך למצוא אותו. לדוגמה, אם נתון לגבי נעלם $\ x$ :

$\ x-3=5$

נפעיל על שני הצדדים את הפונקציה "הוספת 3", ונקבל:

$\ x-3+3=5+3$

כלומר:

$\ x=8$

כך בודדנו את $\ x$ ומצאנו את ערכו.

כמו כן ניתן להפעיל פעולה בינארית על אגפים של שתי משוואות בהתאמה. כלומר, אם נתון:

$\ a=b$

$\ c=d$

אז עבור כל פעולה בינארית שנסמנה ב-"+", יתקיים:

$\ a+c=b+d$

במקרה זה קיבלנו פתרון מדויק למשוואה, לאחר שהפעלנו עליה את הכללים המתאימים. לסוגים מסוימים של משוואות יש כללי פתרון ידועים. לסוגים אחרים אין דרך אנליטית למציאת הפתרון, וכל שביכולתנו לעשות הוא להגיע לפתרון מקורב בשיטות של אנליזה נומרית.

[עריכה] סוגים נפוצים של משוואות

משוואה פולינומית: משוואות מהצורה .
- משוואה לינארית: משוואה שכל המשתנים בה הם ממעלה ראשונה, כלומר מופיעים ללא חזקות.
- משוואה ממעלה שנייה או משוואה ריבועית: משוואה מהצורה $\ ax^2 + bx + c=0$ כאשר $\ a,b,c$ הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים).
- משוואה ממעלה שלישית או משוואה מעוקבת: משוואה מהצורה $\ x^3 + a x^2 + b x + c = 0$ כאשר $\ a,b,c$ הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים).
- משוואה ממעלה רביעית: משוואה מהצורה $\ x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d = 0$ כאשר $\ a,b,c,d$ הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים).
משוואה מעריכית: משוואה שהנעלם נמצא בה במעריך של חזקה.
משוואה לוגריתמית: משוואה שהנעלם נמצא בה בלוגריתם. דוגמה: $\ \log _2 x=x-5$ .
משוואה טריגונומטרית: משוואה שהנעלם נמצא בה בפונקציה טריגונומטרית. דוגמה: $\ \cos(x)=\sin(2x)$ .
משוואה דיופנטית: משוואה שקבוצת הפתרונות שלה מוגבלת לקבוצת המספרים השלמים.
משוואה דיפרנציאלית: משוואה הכוללת משתנים, פונקציות של המשתנים הללו, ונגזרות של פונקציות אלה, וכן קבועים (מספרים). במשוואות כאלה הנעלם הוא הפונקציה, ואותה יש למצוא.
- משוואה דיפרנציאלית רגילה, שבה יש משתנה יחיד, פונקציות שלו ונגזרותיהן.
- משוואה דיפרנציאלית חלקית, שבה יש פונקציות של משתנים אחדים ונגזרות חלקיות שלהן.
משוואה אינטגרלית: משוואה שבה הנעלם הוא פונקציה המופיעה תחת סימן האינטגרל.