המחט של בופון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
המחט המסומנת באות a חוצה את הפס, בעוד מחט b מצויה בין שני פסים

במתמטיקה, בעיית המחט של בופון היא שאלה שהוצגה לראשונה על ידי ז'ורז'-לואי לקלר דה בופון במאה ה-18:

נניח שיש לנו רצפה עשויה רצועות מקבילות של עץ, כל אחת ברוחב זהה, ונפיל מחט על הרצפה. מה ההסתברות כי המחט תנוח על הקטע שבין שתי רצועות?

בעיה זו הייתה אחת הבעיות הראשונות בגאומטריה הסתברותית. באמצעות הפתרון לבעיה ניתן לחשב את פאי בשיטת מונטה קרלו.

פתרון[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניסוח הבעיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נתונה מחט באורך l, אשר נופלת על משטח בעל קווים מקבילים במרחק l\le d, מהי ההסתברות כי המחט תחצה הקו?

פתרון[עריכת קוד מקור | עריכה]

על מרכז x נמצאת מחט אדומה ומחט כחולה. המחט האדומה נמצאת באזור האפור ולכן היא עוברת את הקו משמאל.

יהי x המרחק בין מרכז המחט לקו הקרוב ביותר, תהי \theta הזווית החדה שבין המחט לקו.

המחט תעבור את הקו אם יתקיים: x\le \frac{l}{2} sin \theta

למחט קטנה, כאשר d>l יתקיים [1]: P = \int_0^{2\pi} \frac{l \left| cos \theta \right|}{d}\frac{d \theta}{2\pi} ובחישוב האינטגרל נקבל: P = \frac{2l}{\pi d}

במקרה ש d=l: P = \frac{2}{\pi} = 0.636619...

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]