מצולע משוכלל

בגאומטריה, מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות.

תכונות

• כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל, ואפשר לחסום בו מעגל. המרכזים של המעגלים מתלכדים, ונקודה זו היא מרכז הכובד של המצולע.
• כל המצולעים המשוכללים בעלי אותו מספר צלעות דומים זה לזה.
• כל המצולעים המשוכללים הם קמורים.

גדלים

למצולע משוכלל בעל $\ n$ צלעות התכונות הבאות:

• יש לו סימטריה סיבובית מסדר $\ n$ וסימטריה שיקופית בעלת n צירי סימטריה. חבורת כל הסימטריות נקראת חבורה דיהדרלית.
• כל זווית בו שווה $(1-\frac{2}{n})\times 180$ מעלות או $\frac{(n-2)\pi}{n}$ רדיאנים
• יש לו $\frac{n (n-3)}{2}$ אלכסונים.
• אם הצלע היא $\ t$, אז:
  • ההיקף שלו $t \cdot n$
  • השטח שלו $\frac{1}{4}nt^2\cot{\tfrac{\pi}{n}}$
  • הרדיוס של המעגל החוסם הוא $\ R = \frac 1 2 t \csc \frac \pi n$
  • הרדיוס של המעגל החסום הוא $\ r = \frac 1 2 t \cot \frac \pi n$

תכונות נוספות

• ניתן לבנות בסרגל ומחוגה מצולע משוכלל אם ורק אם כל הגורמים הראשוניים האי-זוגיים של מספר הצלעות הם מספרי פרמה שונים‏.
• אם לוקחים מצולע משוכלל החסום במעגל שרדיוסו 1 ומכפילים את כל הקווים (צלעות ואלכסונים) היוצאים מקודקוד מסוים, מקבלים את מספר הצלעות.

מצולעים משוכללים

• 

  משולש משוכלל - משולש שווה-צלעות

• 

  מרובע משוכלל - ריבוע

• 

  מחומש משוכלל

• 

  משושה משוכלל

• 

  משובע משוכלל

• 

  מתומן משוכלל

• 

  מתושע משוכלל

• 

  מעושר משוכלל

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מצולע משוכלל בוויקישיתוף

• מצולע משוכלל, באתר MathWorld (באנגלית)