תוחלת

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התוחלת (באנגלית: Expection או Mean, מסומנת: E או μ, בהתאמה), או התוחלת המתמטית, של משתנה מקרי, היא סכום כל המכפלות של כל אחד מן הערכים השונים אותם יכול לקבל המשתנה בהסתברויות המתאימות לקבלת אותם ערכים. הגדרה זו מתייחסת למשתנה מקרי בדיד. בהגדרה קצת שונה (במקרה של מרחב הסתברות בדיד), ניתן להתייחס לתוחלת של משתנה מקרי כאל סכום כל המכפלות של ערכי המשתנה בהסתברות המתאימה, כאשר הסכימה מתבצעת על פני כל נקודות מרחב המדגם. במדעים אמפיריים, התוחלת מייצגת את הערך אליו שואפת התוצאה הממוצעת של ניסוי, אם חוזרים עליו אינסוף פעמים. באופן עממי, התוחלת היא ממוצע (משוקלל בהסתברויות) של כל הערכים האפשריים בניסוי.

רקע

מבחינה היסטורית עלה מושג התוחלת כתשובה לבעיה שהטרידה מהמרים רבים. הבעיה הייתה לקבוע האם משחק מזל פלוני הוא "הוגן" או לא. הוגן במובן זה שלאף אחד מהצדדים המשחקים אין יתרון על יריבו. התשובה לבעיה ניתנה באמצעות חישוב ערך התוחלת של המשחק. משחק נחשב הוגן אם התוחלת שלו היא 0. לפיכך ניתן לפרש את התוחלת גם כדמי ההשתתפות ההוגנים במשחק מזל. דהיינו, דמי השתתפות הנקבעים כך, שאם נחזור על המשחק פעמים רבות, יועברו, בממוצע, כל דמי ההשתפות לחלוקת הפרסים ולמארגן לא יישאר (גם כן בממוצע) כל רווח או הפסד.

לדוגמה, בגלגל רולטה ישנן 38 תוצאות אפשריות. הימור על מספר אחד נעשה ביחס של 35 ל-1 (כלומר כשהמהמר זוכה הוא מקבל פי 35 מסכום ההימור, ויחד עם סכום ההימור שמוחזר לו, הוא מקבל פי 36 מסכום ההימור). תוחלת הרווח מהימור של שקל אחד על מספר יחיד היא: 0.0526- = (1- × 37/38) + (35 × 1/38).
התקבלה תוחלת שונה מ-0, מכאן שמשחק הרולטה איננו הוגן במונחי תוחלת. יתרה מזאת, מכיוון שהתוחלת שחושבה שלילית, ניתן לצפות (בממוצע) להפסד של מעט יותר מחמש אגורות על כל שקל שמהמרים עליו. המסקנה היא שלשחקן אחד - הקזינו (מפעיל הרולטה), יש יתרון על השחקן האחר - המהמר.

התוחלת מייצגת תוצאה "צפויה" (Expected) של ניסוי זהה החוזר על עצמו פעמים רבות. מכאן מקורו של המונח בלועזית. אך אפשר שהערך של התוחלת עצמו לא יהיה תוצאה "צפויה" במובן המקובל, הוא עשוי להיות נדיר או אפילו בלתי אפשרי. (ראו דוגמה להמחשה).

הגדרה

התוחלת מסומלת על ידי $\operatorname E X,\ \operatorname E(X),\ \operatorname E[X]$ ולעיתים $\ \langle X\rangle$.

כאשר X הוא משתנה מקרי בדיד שמקבל את הערכים ...,x₁, x₂, התוחלת תחושב על ידי הטור $\operatorname E(X) = \sum_i x_i P(X=x_i)$ (כמו בדוגמת הרולטה לעיל ובדוגמה להלן). במקום לסכום על פי ערכי המשתנה, אפשר לסכום עפ"י המאורעות במרחב המדגם Ω: $\operatorname E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) P(\omega)$. אם X הוא משתנה מקרי רציף בעל פונקציית צפיפות הסתברות f אזי $\operatorname E(X) = \int\limits_{-\infty}^\infty x\; f(x)\; \mathrm dx$.

בצורה הכללית, אם X הוא משתנה מקרי המוגדר על מרחב הסתברות $(\Omega, \mathcal F, P)$, אזי התוחלת של X מוגדרת על ידי $\operatorname E(X) = \int_\Omega X \;\mathrm dP$ כאשר האינטגרל הוא אינטגרל לבג. התוחלת קיימת רק כאשר האינטגרל מתכנס בהחלט.

מומנטים: המומנט מסדר n של משתנה מקרי X הוא התוחלת של החזקות ה-n-ית של X, כלומר $\operatorname E\left(X^n\right)$. המומנט מסדר n סביב התוחלת של X מוגדר כ-$\operatorname E\left((X-\operatorname E(X))^n\right)$, והוא שווה לשונות כאשר $n=2$.

אמידה: כדי לאמוד את התוחלת של משתנה מקרי באופן אמפירי, מבצעים מדידות חוזרות של המשתנה ומחשבים את הממוצע החשבוני של התוצאות (חוק המספרים הגדולים מבטיח שאומד זה מתכנס בהסתברות לתוחלת). לאומדן זה יש התכונה שהוא ממזער את סכום ריבועי השגיאות ביחס לתוחלת.

דוגמה

נדגים את חישוב התוחלת של משתנה מקרי בדיד.
כאשר מטילים קובייה הוגנת (בעלת שש פאות) ההסתברות לקבלת כל מספר מ-1 עד 6 שווה ל-1/6. התוחלת תחושב באופן הבא:

$\operatorname E(X) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = 3.5$

דוגמה זו ממחישה שתי תכונות של התוחלת:

1. תוצאה צפויה: ערך התוחלת (3.5) לא חייב להיות אחד הערכים של המשתנה המקורי (המספרים השלמים 1-6).
2. כאשר ההסתברות בניסוי לקבלת כל תוצאה היא שווה אזי התוחלת היא הממוצע החשבוני.

ניתן לתת לתוחלת את הפירוש הבא: אם משלמים למהמר לפי תוצאות הטלת הקוביה, דהיינו במקרה שייצא 1 - יקבל 1 ש"ח, במקרה שייצא 6 - יקבל 6 ש"ח, הרי שהסכום הממוצע שהמהמר צפוי לקבל לאחר 10 הטלות של הקוביה הוא $\ 35 = 10 \times 3.5$ ש"ח.

תכונות התוחלת

• לשני משתנים מקריים בעלי אותה התפלגות תהיה אותה תוחלת.

אופרטור התוחלת E הוא לינארי, ולפיכך (כאשר X ,Y משתנים מקריים המוגדרים על אותו מרחב הסתברות, ו- a ,b מספרים ממשיים):

• $\ \operatorname E(a) = a$
• $\ \operatorname E(aX+b) = a\operatorname E(X)+ b$
• $\ \operatorname E(aX+bY) = a\operatorname E(X) + b\operatorname E(Y)$

• אופרטור התוחלת אינו כפלי, כלומר, השוויון $\ \operatorname E(XY) = \operatorname E(X)\operatorname E(Y)$ אינו מתקיים בדרך כלל. כאשר השוויון מתקיים, אומרים שהמשתנים X ו-Y בלתי מתואמים. כל שני משתנים בלתי תלויים הם גם בלתי מתואמים. ההפרש $\ \operatorname E(XY)-\operatorname E(X)\operatorname E(Y)$ הוא השונות המשותפת, שממנה אפשר לחשב את המתאם.

• אם X,Y משתנים מקריים, מתקיים $\ \operatorname E(X)=\operatorname E(\operatorname E(X|Y))$. תוצאה זו קרויה לפעמים "משפט ההחלקה".

תוחלת של זמן המתנה

אם X הוא משתנה מקרי המקבל רק ערכים טבעיים, אז התוחלת שלו מקיימת $\ \operatorname E(X)=\sum_{n=1}^\infty P(X\geq n)$ (לנוסחה זו יש גם גרסאות כלליות יותר). ביטוי זה לחישוב התוחלת שימושי במקרה שהמשתנה מייצג את זמן ההמתנה עד להתרחשותו של מאורע (כגון הופעתה הראשונה של המלה "אנציקלופדיה" בסדרה של תווים אקראיים).

ראו גם

• הסתברות
• מידה (מתמטיקה)
• משתנה מקרי
• שונות