פאי

ערך זה עוסק בקבוע המתמטי פַּאי. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו פאי (פירושונים).

האות היוונית פאי

במתמטיקה, $\ \pi$ (האות היוונית פִּי, או פַּאי לפי ההיגוי האנגלי) הוא מספר טהור המייצג את היחס הקבוע (בגאומטריה האוקלידית) בין היקף המעגל לקוטרו. $\ \pi$ הוא קבוע מתמטי שמופיע בנוסחאות רבות במתמטיקה ובפיזיקה.

הערך מסומן באות היוונית π משום שהוא משמש לחישוב היקף מעגל: האות π היא הראשונה במילה היוונית "περίμετρος" (פרימטרוס) שמשמעותה היקף. לראשונה השתמש בסימון זה המתמטיקאי הוולשי ויליאם ג'ונס, בשנת 1706.

חמישים הספרות הראשונות של הייצוג העשרוני של $\ \pi$ הן: 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510.

תכונות

$\ \pi$ הוא מספר אי רציונלי, כלומר אינו ניתן לכתיבה כיחס בין שני מספרים שלמים. תכונה זו הוכחה בשנת 1761 על ידי יוהאן היינריך למברט.

המחשה של ערכו של פאי בקירוב

בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את משפט לינדמן ממנו נובע ישירות ש־$\ \pi$ הוא מספר טרנסצנדנטי. מהוכחה זו נובע ש־$\ \pi$ אינו ניתן להצגה תוך שימוש במספר סופי של מספרים שלמים, שברים או שורשים שלהם יחד עם ארבע פעולות החשבון. כתוצאה מהוכחה זו נובע שלא ניתן, באמצעות בנייה בסרגל ומחוגה, לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון – אחת הבעיות הגאומטריות של ימי קדם.

חישוב $\ \pi$

חישוב ערך מדויק יותר ויותר של $\ \pi$ היווה אתגר במשך מאות שנים.

צורת השבר הפשוטה ביותר המקרבת את $\ \pi$, היא $\frac{22}{7}$ או $3\frac{1}{7}$.קירוב מקובל של $\ \pi$ כמספר עשרוני הוא 3.14. קירובים אלה מתלכדים עם ערכו האמיתי של $\ \pi$ בדיוק של שתי ספרות בלבד מימין לנקודה.

קירובים לפאי היו ידועים עוד בבבל ובמצרים העתיקה, אך ארכימדס הציג לראשונה שיטה המאפשרת לחשב את $\ \pi$ בכל רמת דיוק שתידרש. שיטתו מתבססת על כך שהיקף המעגל קטן מהיקפו של מצולע החוסם את המעגל וגדול מהיקפו של מצולע החסום במעגל. באמצעות חישוב ההיקף של מצולע חוסם ומצולע חסום בעלי מספר הולך וגדל של צלעות נשיג דיוק גדל והולך של היקף המעגל, ובהתאם לכך דיוק גדל והולך של $\ \pi$. ארכימדס הפעיל את שיטתו על משושה, ובהדרגה הכפיל את מספר הצלעות (תוך שימוש במצולעים משוכללים). מצולע בן 96 צלעות הביא את ארכימדס לתוצאה הבאה:

$3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}$

תוכנה להמחשה מידית של שיטתו של ארכימדס מופיעה באתר Archimedes and the Computation of Pi.

ההולנדי אדריאן אנטוניזון השיג במאה ה־16 דיוק בן שש ספרות אחרי הנקודה. הוא הציג את $\ \pi$ באמצעות השבר $\frac{355}{113}$.

ההצגה של פאי כשבר משולב פותחת ב־$\pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots]$.

הצגה זו מספקת סדרה של קירובים, שהראשון מביניהם הוא הערך השלם 3, ואחריו באים:

$\frac{22}{7},\frac{333}{106},\frac{355}{113},\frac{104348}{33215},\frac{1043835}{332263},...$

כדרכם של שברים משולבים, אלו קירובים אופטימליים, במובן הבא: מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 7, הקרוב ביותר לפאי הוא $\frac{22}{7}$; מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 106, הקרוב ביותר לפאי הוא $\frac{333}{106}$; וכן הלאה.

רמנוג'אן הציע קירוב מסוג אחר לפאי: $\ \sqrt {\sqrt{9^2+\frac{19^2}{22}}}$. קירוב זה סוטה מערכו האמיתי של פאי רק בספרה התשיעית מימין לנקודה.

בתחילת המאה ה-15 חישב אל-קאשי, מתמטיקאי ואסטרונום פרסי, את $\ 2\pi$ בדיוק של 9 ספרות בבסיס סקסגסימלי, דיוק השקול ל־16 ספרות בבסיס עשרוני.

בשנת 1596 השתמש ההולנדי לודולף ואן צאולן בשיטתו של ארכימדס, וחישב את $\ \pi$ בדיוק של 20 ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 35 ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו. גם הגרמנים התרשמו מאוד מהישג זה, וקראו ל־$\ \pi$ בשם מספר לודולף.

התפתחות החשבון האינפיניטסימלי במאה ה־17 הביאה שיטות חדשות לחישובו של $\ \pi$, שיטות המתבססות על ייצוגו של $\ \pi$ כסכום של טור אינסופי.

בשנת 1789 חישב הסלובני יורי וגה את 140 הספרות הראשונות של $\ \pi$ (רק 137 מתוכן היו נכונות).

השתכללות המחשבים ומציאת אלגוריתמים יעילים יותר לחישובו של $\ \pi$ הביא לשיא הנוכחי, שנקבע בשנת 2011, של חישוב 10 טרליון הספרות הראשונות של פאי על ידי אלכסנדר ג'יי. יי ושיגרו קונדו. לתוצאה זו אין כל ערך מעשי, מלבד הפגנת מהירותם של מחשבי־על ושל אלגוריתמים.

טכניקה לא שגרתית לחישובו של $\ \pi$ היא "שיטת מונטה-קרלו": על לוח עץ נצייר ריבוע שאורך צלעו שתי יחידות. נצייר מעגל חסום בריבוע זה (זהו מעגל שרדיוסו שווה ליחידה אחת), ונתחיל להטיל חיצים אל הריבוע (לא נכוון את החץ למרכז הריבוע, אלא אל הריבוע כולו, באופן אקראי). לאחר מספר רב של הטלות, היחס בין מספר הפעמים שהחצים פגעו בתוך המעגל, למספר הפעמים שבהם פגעו בתוך הריבוע שואף ליחס שבין שטחי שתי הצורות, שהוא $\ \pi / 4$.

הדוגמה הראשונה לרעיון זה היא שיטת המחט של בופון: כאשר מטילים מחט על משטח שמצוירים עליו קווים ישרים מקבילים שהמרחק ביניהם שווה לאורך המחט, הסיכוי שהמחט תגע בקווים שווה ל־$\ 2/\pi$. ב־1777 ז'ורז' לואי לה קלרק, הרוזן בופון, ביצע את הניסוי כדי להעריך את ערכו של פאי. הניסוי עורר את עניינם של המתמטיקאים בני התקופה, והביא לדיון ער בהבנת מושג ההסתברות.

במקורות היהדות

במקרא בספר מלכים א' (ז, כג) (מתוארך למאה השישית לפנה"ס) יש התייחסות (לא מדויקת) להיקף המעגל, לפיה היחס הוא אחד לשלוש, "ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגול סביב וחמש באמה קומתו וקוה (קרי: וקו) שלושים באמה יסוב אותו סביב". פרשני מקרא, תאולוגים, רבנים וחוקרים דתיים נדרשו לבעיה זו של נתון מוטעה במקרא והציעו שלל פרשנויות לפי טעמם.

יש פרשנים שהסבירו כי דרכו של המקרא היא לעגל מספרים, כך שאין ללמוד מכך על תפיסת הערך המדויק של $\ \pi$ בזמנם, או למשל בהסבר שמדובר בקוטר חיצוני ובהיקף פנימי. הגאון מווילנא טען שרמז ליחס בין הקבוע פאי ובין המספר 3 המובא בפסוק – יחס השווה בקירוב למספר 1.04719, נמצא בקרי וכתיב של המילה שנכתבת קוה ונקראת קו; היחס בין הגימטריה של המילה קוה (111) לשל המילה קו (106) הינו בקירוב 1.04716. הדבר הנרמז כאן הוא שעל אף שלמעשה היה ראוי לכתוב את המספר המלא של הקבוע פאי, לצורך נוחות הקריאה נכתב רק העיגול של המספר. בנוסף, היו שניסו לתת פרשנויות מתוחכמות יותר , ויש השוללים פרשנויות אלה .יש המסבירים זאת בכך שכלי זה לא היה עיגול מושלם עקב העדר טכנולוגיה מתאימה לביצוע מדויק, כלומר ים שלמה היה אליפטי.

במסכת סוכה (דף ז') עוסקת הגמרא בממדיה של סוכה עגולה, ומביאה קירובים שונים להיקף המעגל ואורך האלכסון של ריבוע. גם התוספות במסכת סוכה (ח, א) מתייחסים אל פאי כשווה ל-3.

במסכת בבא בתרא (י"ג: – ט"ו.) מחושב היחס בין היקפו של האורך של ספר התורה לבין רוחבו, וגם שם הגמרא מתייחסת לפאי כשווה ל-3.

הרמב"ם, בן המאה ה-12, הביא, בפירושו למשנה, דברי מומחי ההנדסה, כי "צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להיקפו בלתי ידוע, ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצדנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע ואין במציאותו שייוודע. אבל אפשר לשערו בקירוב"‏‏. בשפת ימינו ניתן להבין את דבריו של הרמב"ם כמשקפים (ללא הוכחה) ש־$\ \pi$ הוא מספר אי־רציונלי.

נוסחאות הקשורות ב־$\ \pi$

פאי מופיע בנוסחאות מתמטיות רבות. ניתן לצפות שיופיע בנוסחאות הקשורות לשטחי ונפחי צורות מעגליות, שכן הוא מוגדר באמצעות מעגל, אך לעתים הוא מתגלה גם בתחומים שלכאורה אין בינם ובין גאומטריה או מעגלים קשר ישיר.

גאומטריה

היקף מעגל	$C = 2 \pi r \,\!$
שטח עיגול	$A = \pi r^2 \,\!$
שטח של אליפסה	$A = \pi a b \,\!$
נפח של כדור	$V = \frac{4}{3} \pi r^3 \,\!$
שטח פנים של כדור	$A = 4 \pi r^2 \,\!$
נפח של גליל	$V = \pi r^2 h \,\!$
שטח פנים של גליל	$A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!$
נפח של חרוט	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!$
שטח פנים של חרוט	$A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!$

אנליזה מתמטית

• נוסחה של פרנסואה וייט, 1593:

$\frac2\pi= \frac{\sqrt2}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots$

• נוסחת גרגורי-לייבניץ, הקרויה על שם ג'יימס גרגורי (1638–1675) ווילהלם לייבניץ. את הנוסחה גילה גרגורי ב־1672. היא מופיעה גם בספר Ganita-Yukti-Bhasa שכתב המתמטיקאי ההודי Jyesthadeva במחצית המאה ה־16, והמציג מחקרים שנערכו במרכז המחקר Madhava בקרלה שבהודו. הנוסחה קובעת כי

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

כלומר:

$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \left (\frac{1}{2n-1}\right ) = \frac{\pi}{4}$

(בהקשר רחב יותר, זהו הערך $\ x=1$ בפיתוח לטור טיילור של $\ \arctan(x)$)

• מכפלת ואליס:

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$

• נוסחת האינטגרל של גאוסיאן (התפלגות נורמלית):

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$

• בעיית בזל נפתרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר (ראו גם פונקציית זטא של רימן):

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

• פונקציית גמא (המהווה הכללה של פונקציית העצרת) בנקודה 1/2:

$\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}$

• נוסחת סטירלינג המשמשת לקירוב עצרת של מספרים גדולים:

$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

(מוכיחים את הטענה על ידי פיתוח אסימפטוטי של פונקציית גמא)

• זהות אוילר המתבססת על נוסחת אוילר (שנקראה על ידי ריצ'רד פיינמן "הזהות המופלאה ביותר במתמטיקה", ומקשרת בין חמשת הקבועים המתמטיים הבסיסיים):

$e^{\pi i} + 1 = 0\;$

• שטחו של רבע מעיגול היחידה:

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx = {\pi \over 4}$

• אינטגרל לא אמיתי נוסף:

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \pi$

אנליזה מרוכבת

• יישום של משפט השאריות:

$\oint\frac{dz}{z}=2\pi i$

פיזיקה

זמן המחזור של מטוטלת מתמטית הוא $\mbox{Time} = 2 \pi \sqrt{\frac{\mbox{length}}{\mbox{gravity}} }$

שברים משולבים

אפשר להציג את פאי באמצעות שברים משולבים רבים, בהם:

${\pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\cfrac{11^2}{6+\cfrac{13^2}{6+\cfrac{15^2}{6+\ddots}}}}}}}}}$

${\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\cfrac{5^2}{11+\cfrac{6^2}{13+\cfrac{7^2}{15+\ddots}}}}}}}}}$

$\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+\frac{9^2} {2+\frac{11^2}{2+\frac{13^2}{2+\frac{15^2}{2+\frac{17^2}{2+...}}}}}}}}}$

תורת המספרים

בתורת המספרים יש קשר בין פאי לבין מספר תוצאות:

• ההסתברות ששני מספרים אקראיים יהיו זרים זה לזה היא $\ 6/\pi^2$.
• ההסתברות שמספר אקראי יהיה ללא אף מחלק ריבועי היא $\ 6/\pi^2$.
• מספר הדרכים הממוצע שבהן ניתן לכתוב מספר טבעי כסכום של שני מספרים ריבועיים הוא $\ \pi/4$.

כאן אנו מניחים שההסתברות והממוצע נלקחים על קבוצת המספרים הטבעיים עד N, כאשר N שואף לאינסוף.

בעיות פתוחות

בחקר מאפייניו של $\ \pi$ מתקיימות בעיות פתוחות אחדות. הבולטת שבהן היא השאלה האם $\ \pi$ הוא מספר נורמלי – מספר ממשי שהספרות שלו מתנהגות כאילו הוגרלו באקראי, כאשר לכל ספרה יש הסתברות שווה להופיע. הידע בסוגיה זו מצומצם ביותר, ובין השאר לא ידוע האם בייצוג העשרוני של $\ \pi$ כל אחת מהספרות 0,…,9 מופיעה אינסוף פעמים. בשנת 2000 הראו דייויד ביילי וריצ'רד קרנדל ששאלת הנורמליות של $\ \pi$ בבסיס בינארי שקולה להשערה ידועה בתורת הכאוס.

בעיה פתוחה נוספת היא השאלה האם הקבוצה $\,\{\pi,e\}$ תלויה אלגברית מעל המספרים הרציונליים. ב1996 הוכיח יורי נסטרנקו כי הקבוצה $\{\pi,e^{\pi},\Gamma(\frac{1}{4})\}$ היא בלתי תלויה אלגברית מעל $\,\mathbb{Q}$.

ביקורת

מתמטיקאים ומדענים שונים ביקרו את השימוש ב $\ \pi$, וסברו כי יש להעדיף את $\ 2\pi$ כקבוע המעגל היסודי, כדי לפשט ביטויים מתמטים, ואת השימוש ברדיאנים. המתמטיקאי הצרפתי ארמן לורן, נהג לכתוב משוואות בהן $\ 2\pi$ משמש כסמל אחד. בשנת 2001 המתמטיקאי האמריקאי רוברט פלאיס הציע להשתמש בסימן $\pi\!\;\!\!\!\pi = 2 \pi$ לייצוג סיבוב אחד . בשנת 2010 הפיזיקאי מייקל הארטל הציע במקום את האות היוונית $\tau$ (לציון turn)‏ .

הפולקלור של $\ \pi$

קיימים משפטים שונים המשתמשים כעזרי זיכרון עבור ערכו של $\ \pi$, בכך שמספר האותיות בכל מלה שלהם שווה לספרה המתאימה של $\ \pi$, למשל זה של המדען האנגלי ג'יימס ג'ינס:

	How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!
– Pi Wordplay, באתר mathworld.wolfram.com

(מילולית: כמה אני רוצה משקה, אלכוהולי כמובן, אחרי ההרצאות המתישות על מכניקת קוונטים).

יש החוגגים את ה־14 במרץ (שנרשם כ־3.14) כיום פאי, ואחרים המסתפקים ביום קירוב הפאי ב־22 ביולי (הוא 22/7). מהדרי ה"חג" חוגגים אותו בדרך כלל בשעה 1:59 אחר הצהריים (3.14159). ביום פאי של שנת 2004 קבע הגאון האוטיסט דניאל טאמט שיא אירופי בדקלום המספר, כאשר דקלם אותו עד הספרה ה־22,514 שלו. השיא העולמי בדקלום פאי שייך ללו צ'או מסין שב־20 בנובמבר 2005 דקלם ללא שגיאה 67,890 ספרות.

חמשירים אחדים חוברו לכבודו של פאי, הנה אחד מהם:

'Tis a favorite project of mine
A new value of pi to assign.
I would fix it at 3;
For it's simpler, you see,
Than 3 point 1 4 1 5 9 !

ב־1998 הופק סרט בשם Pi.‏

דונלד קנות, מדען המחשב הנודע, ממספר את הגרסאות של תוכנת TeX כך שיילכו ויתקרבו ל־$\ \pi$: גרסה 3, גרסה 3.1, גרסה 3.14 וכו'. הגרסה הנוכחית היא 3.1415926.

נקודת פיינמן הוא כינוי למקומות מספר 762 עד 767 בפיתוח העשרוני של פאי. כל המקומות האלו מכילים את הספרה 9. משערים שפאי הוא מספר נורמלי (דהיינו, הספרות בפיתוח העשרוני שלו מופיעות באופן אקראי כביכול), ואם כך אז הפיתוח העשרוני שלו כולל כל רצף ספרות סופי. עם זאת, מפתיע למצוא שש ספרות זהות רצופות בשלב כה מוקדם של הפיתוח. לשם השוואה, הרצף הדומה הבא, ששה מופעים רצופים של הספרה 8, מתחיל בספרה ה־222,299.

השם "נקודת פיינמן" ניתן בעקבות משאלה של הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן, לזכור בעל־פה את הפיתוח העשרוני של פאי עד לשלב שבו יוכל לומר "... תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, וכן הלאה", ובכך לרמוז באופן היתולי שפאי הוא מספר רציונלי.

הזמרת קייט בוש הוציאה שיר בשם $\ \pi$ בתקליט "אריאל". בשיר היא מונה את הספרות מהספרה הראשונה ועד הספרה ה־137, אך מדלגת על הספרות במקומות 79–100.

בספר הבדיוני "מגע" שכתב קרל סייגן מוזכרת עובדה בדויה שבבסיס 11, הספרות של פאי (החל ממקום מרוחק מאד) מתארות מעגל גדול הנתפס כמסר מבורא העולם.

ראו גם

• הצעת חוק פאי
• יום פאי

לקריאה נוספת

• Pi and the AGM, J. Borwein and P. Borwein, 1987; במיוחד פרק 11.

על הפאי במקורות היהדות

• הערך "היקף", באנציקלופדיה תלמודית, כרך י. (הערך מועתק במאמר הבא באתר הידברות)
• ראו במאמרים הבאים (מכתבי עת תורניים): [1], [2], [3], [4]
• רבי שמעון בן צמח דוראן (1361 − 1444), שו"ת תשב"ץ, חלק א' סימן קס"ה (מהדורת למברג, תרנ"א 1891, דפים ס"א − ס"ג
• ירון ידען, ידיעת חכמים בערך הפאי באתר דעת אמת, אדר א, תש"ס.

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
טקסט בוויקיטקסט: פאי בדיוק של מיליון ספרות לאחר הנקודה
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: פאי

• פי, באנציקלופדיה ynet
• רן לוי, "מספר הפלא", אודיסאה 1
• Wolfram Blog, All Rational Approximations of Pi Are Useless