המשוואה הקינטית של לנדאו

בתאוריה הקינטית של הגזים, המשוואה הקינטית של לנדאו היא משוואת טרנספורט, המתארת חלקיקים טעונים בגבול הדליל המבצעים התנגשויות קולון בפלזמה (מצב צבירה).

המשוואה פורסמה על ידי לב לנדאו ב-1936 כתיקון למשוואת בולצמן עבור אינטראקציית קולון. בשילוב עם משוואת ולסוב, המשוואה נותנת את האבולוציה בזמן של המערכת, ולכן מהווה מודל קינטי חשוב בתורת הפלזמה.

סקירה

הגדרה

עבור פונקציית התפלגות של חלקיק אחד, $f(v,t)$, המשוואה נתונה על-ידי:

${\frac {\partial f}{\partial t}}=B{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}(\int _{\mathbb {R^{3}} }dw{\frac {(u^{2}\delta _{ij}-u_{i}u_{j})}{u^{3}}}({\frac {\partial }{\partial v_{j}}}-{\frac {\partial }{\partial w_{j}}})f(v)f(w))$

$u=v-w$

צד ימין של המשוואה ידוע כ-Landau collision integral (בהקבלה לBoltzmann collision integral).

הקבוע $B$ מתקבל על-ידי אינטגרציה על הפוטנציאל התוך-מולקולרי $U(r)$:

$B={\frac {1}{8\pi }}\int _{0}^{\infty }drr^{3}{\hat {U}}(r)^{2}$

${\hat {U}}(|k|)=\int _{\mathbb {R^{3}} }dxU(|x|)e^{ikx}$

יש לשים לב כי עבור הרבה פוטנציאלים תוך-מולקולריים (דוגמה נפוצה היא כאשר $U(r)\propto {\frac {1}{r^{n}}}$) הביטוי עבור $B$ מתבדר. לנדאו מתמודד עם בעיה זו על-ידי קטיעת האינטגרל עבור זוויות קטנות וגדולות.

שימושים

המשוואה בנמצאת בשימוש למידול של פלזמה במכניקה סטטיסטית ופיזיקת חלקיקים. לכן, נעשה בה שימוש נרחב במחקר של פלזמה בכורים תרמו-גרעיניים.

המשוואה ותכונותיה נחקרו לעומק על-ידי אלכסנדר בובילב.

פיתוחים

הפיתוח הראשון של משוואה נתון במאמר המקורי של לנדאו כאשר הרעיון הוא כדלקמן:

נתבונן בגז הומוגני במרחב המורכב ממסות נקודתיות המתוארת על-ידי $f(v,t)$. נבחר פוטנציאל ${\hat {U_{ij}}}=U_{ij}exp({\frac {-r_{ij}}{r_{D}}})$ כך ש-$U_{ij}$ פוטנציאל קולון, $U_{ij}={\frac {e_{i}e_{j}}{|x_{i}-x_{j}|}}$, ו-$r_{D}$ הוא רדיוס דביי. נציב את הפוטנציאל ${\hat {U_{ij}}}$ בתוך איבר ההתנגשות במשוואת בולצמן ונפתור עבור האיבר האסימפטוטי הראשי בגבול $r_{D}\rightarrow \infty$.

הפיתוח הפורמלי הראשון מתוך היררכיית BBGKY פורסם לראשונה ב-1946 על-ידי ניקולאי בוגוליובוב.

משוואת פוקר-פלאנק-לנדאו

ב-1957, המשוואה פותחה בנפרד על-ידי מרשל רוזנבלות. נפתור את משוואת פוקר פלאנק תחת חוק ריבוע ההפכים לקבלת:

${\frac {1}{4\pi L}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial v_{\alpha }}}(-f_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial v_{\alpha }}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial v_{\beta }}}(f_{i}{\frac {\partial ^{2}g_{i}}{\partial v_{\alpha }\partial v_{\beta }}}))$

כאשר $h_{i},g_{i}$ ידועים כפוטנציאלי רוזנבלות:

$h_{i}=\sum _{j=1}^{n}K_{ij}\int dw{\frac {f_{i}(w,t)}{|v-w|}}$

$g_{i}=\sum _{j=1}^{n}K_{ij}{\frac {m_{j}}{m_{i}}}\int dw{\frac {f_{i}(w,t)}{|v-w|}}$

for $K_{ij}={\frac {e_{i}^{2}e_{j}^{2}}{m_{i}m_{j}}},i=1,2,...,n$

צורת פוקר-פלאנק של המשוואה נמצאת בשימוש בעיקר לטובת נוחות בחישובים נומריים.

גרסה יחסותית

תיקון יחסותי של המשוואה פורסמה על-ידי גרש בודקר וספרטק בלייב ב-1956.

עבור חלקיקים יחסותיים בעלי תנע $p=(p^{1},p^{2},p^{3})\in \mathbb {R} ^{3}$ ואנרגיה $p^{0}={\sqrt {1+|p|^{2}}}$, המשוואה מקיימת:

${\frac {\partial f}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}dq\Phi ^{ij}(p,\ q)[h(q){\frac {\partial }{\partial p_{j}}}g(p)-{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}h(q)g(p)]$

כאשר הקרנל נתון על-ידי $\Phi ^{ij}=\mathrm {A} (p,q)S^{ij}(p,q)$ כך שמתקיים:

$\mathrm {A} ={\frac {\left(\rho _{-}+1\right)^{2}}{p^{0}q^{0}}}\left(\rho _{+}\rho _{-}\right)^{-{\frac {-3}{2}}}$

$S^{ij}=\rho _{+}\rho _{-}\delta _{ij}-\left(p_{i}-q_{i}\right)\left(p_{j}-q_{j}\right)+\rho _{-}\left(p_{i}q_{j}+p_{j}q_{i}\right)$

$\rho _{\pm }=p^{0}q^{0}-pq\pm 1$

גרסה יחסותית למשוואה נחוצה שכן חלקיקים בפלזמה חמה מסוגלים להגיע למהירות הקרובות למהירות האור.

ראו גם

• משוואת בולצמן
• משוואת ולסוב