תורת היחסות הפרטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-edit-clear.svg ערך זה זקוק לעריכה: הסיבה לכך היא: סגנון בעייתי.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

תורת היחסות הפרטית היא תאוריה פיזיקלית, מהפכנית בזמנה, שפורסמה על ידי אלברט איינשטיין בשנת 1905. על פי תורת היחסות, מהירות האור היא קבועה בכל מערכת ייחוס. אחת התוצאות המפתיעות הנובעות מהנחה זו היא שאין זמן ומרחב מוחלטים - ככל שמערכת ייחוס נעה במהירות גבוהה יותר (עם מהירות האור כחסם עליון), מימד האורך של המערכת בכיוון התנועה מתכווץ ביחס לצופה נייח, והזמן המקומי שלה מתקדם לאט יותר מנקודת מבטו של אותו צופה.

בשנת 1915 הרחיב אלברט איינשטיין את תורת היחסות על מנת להתמודד עם מושג התאוצה, ובכך יצר את תורת היחסות הכללית, אשר אחד ההשגים החשובים שלה הוא הסבר של כח הכבידה מתוך התעקמות של המרחב-זמן. תורת היחסות הפרטית והכללית נענו בתגובות מעורבות של הקהילה המדעית לאחר פרסומם. בעוד מדענים חשובים כמו מקס פלנק קיבלו את התורה בהתלהבות, חלקים רבים של הקהילה הפיזיקלית שללו אותה מכל וכל. מסיבה זאת כאשר הוחלט להעניק לאיינשטיין את פרס הנובל בפיזיקה בשנת 1921, הפרס ניתן על ההסבר של האפקט הפוטואלקטרי ולא על תורת היחסות.

נקודת המפנה בקבלת תורת היחסות הייתה תצפית שנערכה בשנת 1919 על ידי משלחת שבראשה עמד ארתור אדינגטון שדיווחה שצפתה בהסטה במיקומם של כוכבים הנראית בזמן ליקוי חמה, שנובאה על ידי תורת היחסות הכללית. למעשה, תוצאות הניסוי לא היו חד משמעיות. פרסום הניסוי הפך את איינשטיין לדמות מוכרת ברחבי העולם. באופן דומה, הנוסחא E=mc2, המבטאת את שקילות המסה והאנרגיה, שהיא אחת מהתגליות המפתיעות של תורת היחסות הפרטית, הפכה לסמל תרבות ומדע. כיום תורת היחסות מקובלת על הרוב המוחלט של הקהילה הפיזיקלית, מהווה אבן בסיס של הפיזיקה המודרנית, ותוצאותיה נבדקות בתחומים רבים.

הרקע לתורת היחסות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בסוף המאה ה-19 ניסח ג'יימס קלרק מקסוול את חוקי ההתפתחות של שדות חשמליים ומגנטיים, הקרויים היום על שמו. בין התוצאות החשובות של חוקים אלו היה גילוי קיומם של גלים אלקטרומגנטיים - גלים המבוססים על שדות חשמליים ומגנטיים המתנדנדים בזמן. בכך הצליח מקסוול לראשונה להסביר את האור, ואת מדע האופטיקה באמצעות חשמל ומגנטיות. חוקים אלו, שהתווספו על חוקי התנועה של ניוטון ועל חוקי התרמודינמיקה, הביאו מדענים רבים בסוף המאה ה-19 לחשוב שהפיזיקה מצאה את כל החוקים היסודיים של הטבע. ואולם מספר מדענים העירו שישנה בעיה בשילוב של חוקי מקסוול והמכניקה הניוטונית.

קרינה אלקטרומגנטית ומדידת מהירות האור[עריכת קוד מקור | עריכה]

על פי המכניקה הקלאסית, כל גל מתקדם בתווך מסוים ומהירות ההתקדמות שלו (שנקבעת על פי משוואת הגלים) נמדדת ביחס לתווך. במאה ה-19 סברו שהאור נע בתווך שכונה "אתר", שהיה עשוי מחומר דק הממלא את כל היקום.

בשנת 1887 ביצעו הפיזיקאי אלברט אברהם מייקלסון ועמיתו אדוארד מורלי את הניסוי המפורסם - ניסוי מייקלסון-מורלי. מטרתם הייתה לבדוק את מהירות כדור הארץ באתר. מטרתם לא הייתה להוכיח או להפריך את קיום האתר, משום שקיומו נחשב במאה ה-19 לעובדה מדעית שמעטים פקפקו בה. כדי למדוד את מהירות כדור הארץ הם השתמשו בשיטה אופטית-התאבכותית הידועה בשם "אינטרפרומטריה". הרעיון מאחורי הניסוי היה לצרף שתי קרני אור, אשר אחת מהם נעה בכיוון התקדמות כדור הארץ, ואחת מהם נעה בניצב אליו. בהנחה שהאור מתקדם באתר ושכדור הארץ נע ביחס אליו, צריך להיות הבדל במהירות של אותן שתי קרניים, והאינטרפרומטר של מייקלסון מורלי היה רגיש מספיק בשביל למדוד הבדל זה. ממדידת ההבדל ניתן היה, לפי הנחתם, להסיק את מהירות כדור הארץ.

אולם, תוצאות הניסוי העלו שמהירות האור שנמדדה בשני הכיוונים הייתה זהה. תוצאה זו זכתה לפרשנויות שונות. מייקלסון ומורלי סברו שהמכשור לא היה רגיש דיו, וניסו לחזור על הניסוי בווריאציות שונות, ואילו הפיזיקאים הנדריק לורנץ וג'ורג' פיצ'גרלד הציעו ב-1892 כי הגופים הנעים מתכווצים בכיוון התנועה באתר, השערה הדומה מאד לעקרונות היחסות שיתגלו בהמשך. לאחר שאיינשטיין פרסם בשנת 1905 את תורת היחסות הפרטית, פורש ניסוי מייקסלון-מורלי בדיעבד כאישוש שלה וכהפרכת קיומו של האתר, על אף שבשעתו הוא לא נתפס כך כלל. אף על פי כן, היו שהמשיכו להתנגד לה, כמו הפיזיקאי האמריקאי דייטון מילר (1866-1944) שהמשיך לבצע שחזורים של ניסוי מייקלסון-מורלי באמצעים מדויקים יותר עד לאמצע שנות השלושים, ואף פרסם ממצאים שמדדו, לטענתו, שינוי במהירות האור ביחס לאתר, ובכך הפריכו לכאורה את תורת היחסות. אולם, בשלב זה תורת היחסות הייתה מקובלת היטב והקהילה המדעית איבדה ברובה עניין בניסוייו.

ייתכן כי איינשטיין התוודע לניסוי מייקלסון מורלי ולתוצאותיו מתוקף היותו סטודנט לתואר ראשון לפיזיקה. מיתוס היסטורי נפוץ מתייחס לכישלונם של מייקלסון ומורלי למדוד שינוי במהירות האור ביחס לתנועת כדור הארץ באתר כגורם העיקרי שהביא את איינשטיין לפיתוח תורת היחסות הפרטית. אולם ככל הנראה הוא שגוי או לכל הפחות מוגזם. איינשטיין לא הזכיר את הניסוי במאמרו משנת 1905, שם פיתח את תורת היחסות הפרטית משיקולים תאורטיים טהורים. מידת השפעתו של ניסוי מייקלסון-מורלי על איינשטיין שנויה במחלוקת בקרב היסטוריונים של המדע, אף כי בכל מקרה מקובל לחשוב שהיא פחותה ממה שהנראטיב המקובל מניח.

א-סימטריה בתורת האלקטרומגנטיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

במאמר שפרסם על יחסות פרטית, שנקרא "על האלקטרודינמיקה של גופים נעים", כתב איינשטיין שהמניע אשר דחף אותו לפתח את התורה היה חוסר הסימטריה שביסודה של תופעה אלקטרומגנטיות בסיסית. מדובר בתופעה שבה תנועה יחסית בין מוליך לשדה מגנטי יוצרת זרם חשמלי במוליך. לתופעה זו הציעה האלקטרומגנטיות הקלאסית שני הסברים שונים לחלוטין:

  1. אם המוליך זז ביחס לשדה, הרי שהמטענים נעים במהירות כלשהי ולכן פועל עליהם כוח לורנץ הגורם להם לנוע בתוך המוליך ובכך יוצר זרם.
  2. אם השדה המגנטי משתנה ביחס למוליך, אזי השטף המגנטי שדוגם המוליך משתנה, ולפי חוק פאראדיי נוצר כוח אלקטרו-מניע במוליך שגורם למטענים לנוע כזרם.

איינשטיין לא היה מוכן להשלים עם אי-הסימטריה לעיל אשר מספקת הסברים שונים לחלוטין לתופעה אחת.

ניסיונו למצוא הסבר אסתטי וסימטרי לתופעה היה אחד ממניעיו לפיתוח תורת היחסות. איינשטיין הבין ששורש הבעיה מצוי בכך שמושגים כמו מרחב וזמן לא הוגדרו היטב.

עקרונות תורת היחסות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בבסיס ההסבר שנתנה תורת היחסות הפרטית לתופעות שנידונו לעיל עומדים שני עקרונות יסוד:

  1. עקרון היחסות:
    חוקי הפיזיקה אינם משתנים כאשר עוברים ממערכת ייחוס אינרציאלית אחת למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת. כך לדוגמה, אדם הנמצא בקרון רכבת אטום לא יכול באמצעות שום ניסוי או מדידה פיזיקלית לקבוע האם הקרון נע במהירות קבועה או ניצב במנוחה.
  2. אינווריאנטיות מהירות האור:
    מהירות האור קבועה לכל צופה, בלא תלות במהירות היחסית שלו ביחס לגוף שפלט את האור, או במהירות שלו ביחס לכל גוף אחר.

באמצעות דרישות אלה הסביר איינשטיין כיצד להגדיר את המרחב והזמן כך שבאמצעות סנכרון שעונים הגדיר מחדש את המושג של סימולטניות ("בו-זמניות"). מהניתוח שביצע איינשטיין עולה שהסימולטניות היא לא גודל שנשמר בין מערכות ייחוס אינרציאליות הנעות במהירויות שונות. כלומר: שני צופים הנמצאים בתנועה יחסית ביניהם, ומודדים את אותו צמד אירועים, עשויים שלא להסכים ביניהם בשאלה האם אירועים אלו התרחשו בו זמנית. מדרישות אלה ומעקרון הלוקליות גזר איינשטיין את טרנספורמציות לורנץ שהחליפו את טרנספורמציית גליליי ככלי מדויק לתרגם גדלים פיזיקליים במעבר בין מערכות ייחוס שונות. עם זאת, במהירויות נמוכות בהרבה ממהירות האור טרנספורמציית גליליי מנבאת תוצאות בדיוק טוב מאוד, כך שניתן להתייחס אל טרנספורמציית גלילי כקירוב של טרנספורמציית לורנץ בגבול v<<c.

תורת היחסות הפרטית מטפלת רק במערכות ייחוס אינרציאליות, כלומר מערכות ייחוס הנעות זו ביחס לזו במהירות קבועה. על אף שאפשר לדבר בתורה על תאוצה כגודל קינמטי, הטרנספורמציות בין מערכות ייחוס נעשות רק בין שתי מערכות אינרציאליות זו לזו. שילוב מערכות ייחוס מואצות (כגון למשל מערכת ייחוס מסתובבת) איננו דבר פשוט ובעיה קשה זו מצאה פתרון שלם רק ב 1915 - כאשר איינשטיין ניסח את תורת היחסות הכללית, שמהווה הכללה לתורת היחסות הפרטית ומטפלת גם במערכות מואצות כאשר היא מזהה תאוצה עם שדה כבידה.

הזמן על פי תורת היחסות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מהו זמן ואיך מודדים אותו[עריכת קוד מקור | עריכה]

בשלב הראשון, ניגש איינשטיין לטפל בזמן וניתח מה הוא בדיוק ה"זמן" שאנו מודדים. ראשית, איינשטיין פתר את המקרה הפשוט שבו מודד הזמן נמצא באותו מקום בו קרה האירוע.

"הרכבת הגיעה בשעה שבע" - כלומר, האירוע שבו הרכבת הגיעה לתחנה התרחש בו-זמנית במערכת הייחוס של התחנה יחד עם האירוע שבו השעון של המודד , הנמצא נייח בתחנה, הראה את השעה 7.

בשלב השני בחן איינשטיין את השאלה: "מה קורה אם האירועים אינם קורים באותו מקום?" במקרה זה, יש להכין את מערכת המדידה מראש.

נניח שבדוגמה שלנו, מודד הזמן נמצא מחוץ לתחנה וכן נניח שיש ברשותו אמצעי להעברת מידע במהירות האור בין התחנה אליו. כדי למדוד מתי הגיעה הרכבת עליו להכין שני שעונים (אחד בתחנה ואחד אצלו) וכן למדוד את המרחק בין התחנה אליו (נניח שמרחק זה הוא L). כעת, כאשר הרכבת מגיעה לתחנה, השעון שבתחנה שולח אות במהירות האור אל המודד. אם השעון בתחנה יראה 7 בעת הגעת הרכבת, השעון של המודד יראה \ 7^{\underline{00}} + \frac{L}{c} . כדי לדעת מתי הגיעה הרכבת עליו לקזז משעונו את הזמן שלקח למידע להגיע. כך פתר איינשטיין את בעיית הזמן גם עבור אירועים שאינם קורים באותו מקום.

מהניתוח לעיל, עולה שכדי לקבל מדידה אחידה עבור צופים במרחקים שונים , בכל מקום יש לסנכרן את השעונים כך שהמחוג יקזז את הזמן שלוקח למידע להגיע (בדוגמה שלנו: המודד צריך לכוון את השעון שלו \frac{L}{c} זמן אחורה כדי שגם השעון שלו יראה שהרכבת הגיעה ב־7 לתחנה, כמו שהשעון בתחנה מראה). באופן תאורטי אידאלי, בכל מקום במרחב יש שעון מסונכרן כזה.

אולם, מסתבר שבעיית סנכרון השעונים איננה פשוטה כל כך. בשביל לסנכרן שני שעונים יש לשלוח קרן אור משעון A לשעון B, לתת לקרן לחזור ולמדוד את משך הזמן שלקח לה לחזור, באופן מתמטי - אם קרן האור יצאה ב־t_a וחזרה בזמן t_b אזי

\ t_b - t_a = \frac{2 L}{c}

כעת, זה מפתה לומר שהזמן שלוקח לאור לטייל מ־A ל־B הוא \frac{t_b - t_a}{2} (מטעמי סימטריה) אבל אין שום ערובה ניסיונית לכך שזה אכן המצב. למעשה, נוכל לקבוע שבכיוון אחד לקח לאור להגיע רק \frac{t_b - t_a}{3} זמן לעבור, ולא נוכל להפריך זאת בניסוי כי הזמן במקומות שונים מוגדר באמצעות הגודל שאותו אנו רוצים למדוד, ואי אפשר למדדו בלי הגדרה טובה של הזמן במקומות שונים. דבר זה קשה להבנה וקשור לתפיסה האקטואליסטית הקאנטיאנית שהיוותה השראה לאיינשטיין בעת ניסוח התאוריה. ברם, בגלל עיקרון היחסות, בחר איינשטיין באפשרות הטבעית,  \Delta t = \frac{L}{c} = \frac{t_b - t_a}{2}, אך במאמרו הדגיש שבחירה זו היא "בחירה שרירותית" ומהווה בעצם "עניין של הגדרה".

בתגובה לניתוח העמוק והמסובך לעיל העיר הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן בבדיחות ש"איינשטיין בעצם גילה שאת הזמן מודדים עם שעון".

לאחר הגדרת מושג הזמן בכל נקודה במרחב באמצעות רשת אינסופית של מוטות קשיחים (למדידת מרחקים), כך שבכל מקום במרחב מונח שעון כשכל השעונים מסונכרנים, ניתן לבחון כיצד תלוי קצב תקתוקו של השעון במהירות התנועה של מערכת הייחוס שבה הוא נמצא.

שעון במערכת הנעה במהירות קבועה והתארכות הזמן[עריכת קוד מקור | עריכה]

על פי תורת היחסות, זמן אינו גודל מוחלט, אלא תלוי במערכת ייחוס. כלומר, אצל צופה אחד יעבור במהירות שונה מהזמן אצל צופה שני, הנע ביחס לראשון. היחס בין הזמנים הוא אסימפטוטי למהירות האור (כלומר, ככל שמתקרבים למהירות האור, היחס שואף לאינסוף), ועל כן, עבור גוף הנע במהירות האור ביחס לגוף אחר, הזמן העובר הוא אפס (כלומר, לא עובר זמן).

נניח ש-\ \Delta \tau (זמן עצמי) הוא פרק הזמן בין שני תקתוקי שעון במערכת שבה שני תקתוקי השעון קורים באותו מקום - "המערכת הנייחת" (מתוארת באיור הימני). נניח ש-\ \Delta T_r הוא פרק הזמן העובר בין שני תקתוקים כאשר שני התקתוקים קרו במקומות שונים, עקב תנועת מערכת הייחוס במהירות קבועה \ v ביחס למערכת הנייחת, בניצב לכיוון התקדמות האור (מתוארת באיור השמאלי).

איור הממחיש את התארכות הזמן. המערכת באיור הימני נקראת "המערכת הנייחת" ולזמן הנמדד בה קוראים "הזמן העצמי". המערכת באיור השמאלי נעה במהירות קבועה \ v בניצב לכיוון התקדמות קרן האור.

לפי תורת היחסות, הקשר שיתקיים ביניהם הוא:

 \Delta T_r = \frac{\Delta \tau}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}

או


\Delta T_r = {\gamma} {\Delta \tau}  
\quad , \quad
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}

כאשר \ \tau הוא הזמן העצמי (הזמן במערכת ייחוס שבה שני האירועים מתרחשים באותו מקום, "המערכת הנייחת") ו־\ T_r הוא הזמן במערכת ייחוס הנעה במהירות \ v ביחס אליה. \ c היא מהירות האור. הזמן העצמי הוא גודל אינווריאנטי בתורת היחסות. ניתן לראות כי כאשר \ v \to c , אזי \ \Delta T_r שואף לאינסוף. תופעה זו ידועה בשם "התארכות הזמן" (Time dilation). כלומר, ככל שהצופה נע במהירות גבוהה יותר ביחס למערכת הייחוס, כך השעון שלו מתקתק לאט יותר. במהירויות השואפות למהירות האור, ייקח לשעונו של הצופה הנע זמן אינסופי להשלים תקתוק שני, ולכן ידמה לו כאילו הזמן עומד מלכת.

בשעון הכוונה היא לכל מערכת פיזיקלית המשתנה בזמן (אם המערכת היא בעלת התנהגות מחזורית היא יכולה לשמש כשעון לכל צורך מעשי). גם לב האדם, הפועם בקצב קבוע הוא סוג של שעון, ומאחר שגם פעילותו הגופנית והמנטלית של הצופה הנע ביחד עם המערכת מאטות ביחד עם השעון, הוא לא ירגיש בהאטת הזמן.

תוצאה מעניינת מהמסקנות לעיל היא פרדוקס התאומים, ניסוי מחשבתי שבו תאום אחד נשלח לחלל במהירות גבוהה מאוד וכאשר הוא חוזר לכדור הארץ הוא מגלה שאחיו הזדקן מאוד, בעוד שהוא נותר צעיר. הסיבה לאי-הסימטריה בין שני התאומים נעוצה בכך שאחד מהם שינה בפועל את מהירותו (כאשר הוא הסתובב לחזור בחזרה אל עבר כדור הארץ) ובכך ביצע "קפיצה" בין שתי מערכות ייחוס אינרציאליות שונות ביחס לתאום שבכדור הארץ.

תורת האינווריאנטים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בניגוד לדעה הרווחת, תורת היחסות לא קובעת שהכל יחסי אלא מנסה למצוא אינווריאנטים של הטבע, כלומר: גדלים שלא משתנים תחת מעבר בין מערכת ייחוס אינרציאלית אחת למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת. איינשטיין יצא מהדרישה שחוקי הפיזיקה הם אינווריאנטים כאלה. גדלים פיזיקליים שנשמרים תחת מעבר זה נקראים גם "אינווריאנטים לורנץ" כי הם נשמרים תחת טרנספורמציות לורנץ. דוגמאות לאינווריאנטים הן:

  1. מהירות האור - תימדד כ־\ c בכל מערכת ייחוס.
  2. האינטרוול (ריבוע הזמן העצמי) - \ ds^2 = c^2 (d \tau)^2 = c^2 dt^2 - (dx^2 + dy^2 + dz^2 ) = (c \ dt)^2 - (d \vec{r} \cdot d \vec{r}) ובפרט, גם הזמן העצמי הוא אינווראנטי לורנץ.
  3. פאזת גל אלקטרומגנטי.
  4. מסת מנוחה.

דיאגרמת זמן וקונוס האור[עריכת קוד מקור | עריכה]

דיאגרמת זמן (נקראת גם "גרף t-x") הוא דרך פופולרית וטובה לתאר את המרחב-הזמן היחסותי. גרף זה מורכב מציר אופקי x המתאר את המרחב (הצמצום לממד מרחבי אחד נעשה מטעמי פשטות ונוחות השרטוט) ומציר אנכי t המתאר את הזמן.

תיאור סכמתי של המרחב-זמן עבור ממד מרחבי אחד (ציר ה x, כאן הוא אופקי) וממד הזמן (ציר ה־t, כאן הוא אנכי).

להלן הסברים על הגרף ומשמעות רכיביו:

  • הקווים המקווקים הם היפרבולות האינטרוול. על כל היפרבולה שכזו, האינטרוול ds² הוא קבוע.
  • הקוים האדומים ידועים בשם "קונוס האור" והם מייצגים גופים (B) שנעים במהירות האור.
  • התחום שבתוך הקונוס מעל הראשית (קונוס העתיד) הוא התחום של כל המאורעות (A) שעליהם המאורע בראשית יכול להשפיע, התחום שבתוך הקונוס ומתחת לראשית (קונוס העבר) הוא תחום כל המאורעות שיכלו להשפיע (D) על המאורע בראשית O.
  • כל התחום הלבן שמחוץ לקונוס האור מכיל מאורעות שלא יכולים להשפיע או להיות מושפעים מהמאורע בראשית (הם נקראים "מופרדים מרחבית"). הסיבה לכך היא שאם הם יכלו להיות מושפעים מהמאורע בראשית עקרון הסיבתיות היה מופר, שכן טרנספורמציית לורנץ - שמזיזה נקודות לאורך היפרבולת האינטרוול שלהן - יכולה להעביר את המאורעות (למשל את C) למערכת ייחוס אחרת שבה C התרחש לפני O.
  • הזמן t_p מציין את הזמן העצמי לאורך היפרבולת האינטרוול.

מרחב מינקובסקי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעזרתו של המתמטיקאי הרמן מינקובסקי ניסח איינשטיין את תורת היחסות באמצעות חשבון טנזורים במרחב היפרבולי של 4-וקטורים, הקרוי מרחב מינקובסקי. מרחב זה נקרא גם ה"מרחב-זמן" של מינקובסקי.

הגדרות קינמטיות יסודיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

במרחב זה, ה־4-וקטור של מאורע פיזיקלי מוגדר להיות

\ x^\mu = ( x^0 , x^1 , x^2, x^3 ) := (ct , x , y, z)

4-וקטור זה מורכב מרכיב זמני ורכיב מרחבי. ה 4-וקטור מתאר את הזמן והמקום שבהם התרחש מאורע פיזיקלי הניתן למדידה. 4-וקטור זה נקרא "4-וקטור האירוע" או "4-וקטור המקום", הסיבה לכך היא שבשביל לתאר מאורע פיזיקלי עליך לציין לגביו 4 פרטים: הזמן בו התרחש ו־3 הקואורדינטות של המקום בו התרחש.

ננהיג סימון מקוצר, הידוע כהסכם הסכימה של איינשטיין:

\ a^\mu b_\mu = \sum_{\mu=0}^{3}{a^\mu b_\mu} = a^0 b_0 + a^1 b_1 + a^2 b_2 + a^3 b_3 = a^0 b^0 - \left( a^1 b^1 + a^2 b^2 + a^3 b^3  \right)

יש משמעות לכך שאינדקס אחד מופיע למעלה ואינדקס שני מופיע למטה, אך ההסבר לכך חורג מתחום מאמר זה.

המטריקה של מרחב מינקובסקי (המטריצה המגדירה את המכפלה הסקלרית במרחב) הוגדרה כמטריצה אלכסונית שאיברי האלכסון הראשי שלה הם:

\ \eta = diag( 1, -1, -1, -1)

או בכתיב טנזורי

\ \eta_{0,0} = 1 \ , \ \eta_{0,i} = \eta_{i,0} = 0 \ , \ \eta_{i,j} = -\delta_{i,j}

כאשר i,j מסמלים אינדקסים מרחביים (1,2,3) ו \ \delta^{i}_{j} = \delta_{i,j} היא הדלתא של קרונקר.

לשורש המכפלה של וקטור בעצמו לפי המטריקה, קוראים ה"נורמה" של הווקטור (אף על פי ש"נורמה" זו היא לא בהכרח אי-שלילית). נחשב את ריבוע הנורמה של 4-וקטור המקום:

\ x^\mu \eta_{\mu , \nu} x^\nu = x^\mu x_\mu = (x^0)^2 - (x^1)^2 - (x^2)^2 - (x^3)^2 = c^2 t^2 - \vec{r} \cdot \vec{r} = (ct)^2 - r^2

וזה בדיוק האינטרוול של הווקטור x , שהוא אינווריאנטה בתורת היחסות.

בניסוח זה, טרנספורמציות לורנץ שמעבירות בין מערכות ייחוס אינרציאליות (על ידי סיבוב או boost), הן מטריצות השומרות על המטריקה (המוגדרת כפי שראינו על ידי תבנית ריבועית) תחת דמיון מטריצות. את ההגדרה הפורמלית וטיפול נרחב, בליווי דוגמאות ורישום מפורש של הטרנספורמציות, ניתן למצוא במאמר הראשי בנושא: טרנספורמציות לורנץ.

נזכיר ש- \ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} פקטור לורנץ.

גם 4-וקטור ההפרש בין שני 4-וקטורי מאורע הוא 4-וקטור, ולעתים קרובות הוא שימושי יותר מאשר 4-וקטור המאורע.

ביחס למאורע הראשית, וקטור A מופרד זמנית, וקטור B מופרד אורית ווקטור C מופרד מרחבית

נהוג למיין 4-וקטורים לפי הסימן של האינטרוול:

  • אם \ A^\mu A_\mu > 0 אומרים שהווקטור הוא timelike, אם 2 מאורעות מופרדים זמנית אז קיימת מערכת בה האירועים מתרחשים באותו מקום, קשר סיבתי אפשרי בין מאורעות כאלה.
  • אם \ B^\mu B_\mu = 0 אומרים שהווקטור הוא lightlike או null, אם 2 מאורעות מופרדים אורית אז רק אפקטים הנעים במהירות האור יכולים להשפיע.
  • אם \ C^\mu C_\mu < 0 אומרים שהווקטור הוא spacelike, אם 2 מאורעות מופרדים מרחבית אז קיימת מערכת בה האירועים מתרחשים באותו זמן, אין קשר סיבתי בין מאורעות כאלה.

מהירות יחסותית ותאוצה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מאחר שיש לנו 4-וקטור של מקום וזמן, נרצה להגדיר גם 4-וקטור מהירות. מאחר שהזמן תלוי במערכת הייחוס, הגדרת המהירות על ידי גזירה לפי זמן לא תהיה עקבית ואחידה. הפתרון הוא לגזור לפי הזמן העצמי - שהוא אינווריאנטי לורנץ - ואז הגדרת ה־4-וקטור המהירות תהיה עקבית. לכן מגדירים:

 \ u^\mu = \frac{d x^\mu}{d \tau} = \gamma \frac{d x^\mu}{d t} = \left( \gamma c \ , \ \gamma v_x \ , \ \gamma v_y \ , \ \gamma v_z \right) = \gamma \left( c \ , \ \vec{v} \right)

הנורמה של וקטור זה שווה ל c:

u^\mu u_\mu = \gamma^2 (c^2-v^2)=c^2

זהו 4-וקטור המהירות. לחלק המרחבי שלו\ \vec{u} = \gamma \vec{v} נהוג לקרוא "מהירות יחסותית" (לעומת \ \vec{v} המהירות הקלאסית). יש פיזיקאים שלא "בולעים" את פקטור לורנץ אל המהירות, אלא "בולעים" אותו דווקא אל המסה, וקוראים לגודל זה "מסה יחסותית".

באותו אופן, אפשר גם לחשב תאוצה יחסותית:

\ \alpha^\mu = \frac{d u^\mu}{d \tau}

כאשר המכפלה הסקלרית של התאוצה והמהירות מתאפסת:

\alpha^\mu u_\mu = \frac{d u^\mu}{d \tau} u_\mu =\frac{1}{2} \frac{d (u^\mu u_\mu)}{d \tau} 
= \frac{1}{2} \frac{d c^2}{d \tau} = 0

חיבור מהירויות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטרנספורמציות לורנץ נובע שכלל חיבור המהירויות הקלאסי \ v_{1+2} = v_1 + v_2 תקף רק כקירוב במהירויות נמוכות. כלל חיבור המהירויות היחסותי הוא

 \ v_{1+2} = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{ v_1 v_2}{c^2}}

מכאן אפשר לראות שגוף הנע במהירות קטנה ממהירות האור במערכת אינרציאלית כלשהי, ינוע במהירות קטנה ממהירות האור בכל מערכת אחרת; באופן דומה, גוף שינוע במהירות גדולה ממהירות האור במערכת כלשהי, ינוע במהירות גדולה ממהירות האור בכל מערכת אחרת.

אנרגיה ותנע[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי לדון בדינמיקה של גופים נעים מגדירים את 4-וקטור התנע-אנרגיה:

\ p^\mu = m_0 u^\mu = \left( \gamma m_0 c , \gamma m_0 \vec{v} \right)

כאשר \ m_0 היא מסת המנוחה של הגוף. בהרבה ספרים נהוג להגדיר "מסה יחסותית" על ידי \ m = \gamma m_0 ובכך ל"בלוע" את פקטור לורנץ. המסה היחסותית איננה אינווריאנטית לורנץ, למעשה - ככל שגוף נע יותר מהר, כך המסה היחסותית שלו גדולה יותר. נביט באיבר הזמני של 4-וקטור התנע, לגודל \ mc יש יחידות של אנרגיה חלקי מהירות ולכן מקובל לרשום אותו כ

 mc = \frac{mc^2}{c} = \frac{ \gamma m_0 c^2 }{c}

ואז

 \ p^\mu = \left( \frac{E}{c} , \vec{p_{rel}} \right) = \left( \frac{mc^2}{c} \ , \ m\vec{v} \right)

ומתקיים שמסת המנוחה היא אינווריאנטית לורנץ, שכן

 \ p^\mu p_\mu = (E/c)^2 - p^2 = {m_0}^2 c^2

כעת נתרשם מדוע \ E = mc^2 = \gamma m_0 c^2. נפתח את האנרגיה כטור טיילור במהירות v ונקבל ש:

\ E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = m_0 c^2 + \frac{1}{2} m_0 v^2 + \cdots

נשים לב ש \ T = \frac{1}{2} m_0 v^2 היא האינרגיה הקינטית הקלאסית של הגוף. לכן, זיהה איינשטיין את תכולת האנרגיה של הגוף עם המסה היחסותית שלו.

האנרגיה הקינטית היחסותית של הגוף היא E_k = m c^2 - m_0 c^2 \,\! ואילו סך האנרגיה הכללית נתון על ידי  E^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4 \,\!.

כוח ומשוואות התנועה[עריכת קוד מקור | עריכה]

החוק השני של ניוטון אומר ש \ \frac{d p}{d \tau} = f וזהו הבסיס למשוואות התנועה גם בתורת היחסות הפרטית. את משוואות התנועה היחסותיות אפשר למצוא באופן ריגורוזי יותר באמצעות שימוש בעקרון הפעולה המינימלית עבור פעולה יחסותית (שבה האינטגרנד הוא גודל אינווריאנטי).

באמצעות עקרון הפעולה אפשר לקבל שמשוואות התנועה הן

\ m \frac{ d^2 x^\mu}{d \tau ^2} = f^{\mu}

כאשר f הוא ה 4-כוח, אותו ניתן לחשב באופן הבא: במערכת המנוחה של החלקיק מגדירים ש \ f^\mu = \left( 0, \vec{F} \right) ואז מעבירים אותה למערכת הרצויה בטרנספורמציית לורנץ. באופן מפורש מקבלים שבמערכת כלשהי, בה החלקיק נע במהירות \ \vec{v} ה 4-כוח הוא מהצורה

\ f^\mu = \left( \gamma \vec{v} \cdot \vec{F} \ , \ \vec{F} + \vec{v} ( \gamma - 1) (\vec{v} \cdot \vec{F}) / v^2 \right)

לדוגמה, הכוח החשמלי הפועל על חלקיק בודד (כוח לורנץ) הוא

\ f^\mu = F^{\mu}_{\nu} \frac{dx^\nu}{d \tau}

כאשר כאן \ F^\mu_\nu הוא טנזור השדה האלקטרומגנטי.

יישומים ומסקנות של תורת היחסות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תורת היחסות הפרטית חזתה דברים מדהימים:

  • יחסיות הבו-זמניות: אם צופה א' רואה שני אירועים רחוקים זה מזה מתרחשים סימולטנית, אזי צופה ב' הנע ביחס לצופה א' יראה אותם מתרחשים בזמנים שונים.
  • התארכות זמן: אם מישהו נע יחסית אל הצופה במחצית מהירות האור אזי כאשר הצופה מסתכל על מחוגי השניות של אותו מישהו שנע לקראתו, הצופה יראה תזוזה של שנייה כל 1.15 שניות בשעון שלו. מי שנע לא חש בתופעה זו.
  • התקצרות האורך: אם חללית נעה ביחס אל הצופה במחצית מהירות האור, אזי כאשר הצופה מסתכל על אורכה הוא מתקצר ב־13% לעומת האורך במנוחה, אבל מי שבחללית לא יראה שום שוני.
  • עליית המסה: אם חללית נעה ביחס אל הצופה במחצית מהירות האור המסה שלה תהיה ב־15% יותר גדולה מאשר המסה שלה במנוחה, אבל מי שבחללית לא ימדוד שום שינוי.

כל התופעות המדהימות והבלתי צפויות הללו אושרו מאוחר יותר בניסויים. ברוב התופעות הללו אין אנו חוזים בחיי היום-יום כי השפעתן ניכרת רק לגבי גופים הנעים במהירויות גדולות (מהירויות של בערך חמישית ממהירות האור ומעלה). עבור מהירויות נמוכות, השפעת התופעות הללו זניחה ואי-אפשר למדדה ללא אמצעים מדויקים ביותר. חידוש נוסף הנובע מתורה זו הוא שקילות המסה והאנרגיה - לכל גוף יש אנרגיה אשר אינה קינטית או פוטנציאלית והיא יחסית למסה שלו, על-פי הנוסחה המפורסמת E=mc2. מכאן, כל גוף יכול להיות מומר באנרגיה שוות ערך למסתו; הנחה זו מהווה את היסוד התאורטי לפיתוח פצצת אטום בפרט ולהפקת אנרגיה גרעינית בכלל. ניצול מלא של שקילות זו מתרחש כאשר חומר ואנטי-חומר מתנגשים, שאז הם מתאיינים - הופכים לאנרגיה ללא שארית ממהותם המקורית. לעובדה זו יש יישום חשוב מאוד בפיזיקה של חלקיקים אלמנטריים: האצת חלקיקי יסוד כמו פרוטון או אלקטרון למהירויות אדירות (של יותר מ־80% ממהירות האור) והטחתם בחלקיקים אחרים תביא, בשל עיקרון שקילות המסה והאנרגיה, ליצירת הרבה חלקיקים חדשים ולפיזורם בהתאם לחוק שימור התנע. כך, אפשר ליצור ולחקור חלקיקים אלמנטריים. זהו העיקרון שעומד מאחורי מאיץ חלקיקים.

יישום נוסף של התורה היא ניסוח חדש וקו-וריאנטי לאלקטרומגנטיות של מקסוול. במסגרת זו אוחדו השדה המגנטי והחשמלי לטנזור אנטי-סימטרי מדרגה 2 (כלומר: מעין מטריצה 4 על 4) \ F^{ \mu \nu} הנקרא טנזור השדה האלקטרומגנטי. באמצעות איחוד זה צמצם איינשטיין את משוואות מקסוול לשתי משוואות בלבד, אחת הומוגנית ששקולה למשוואות מקסוול ההומוגניות (אילוצים) ושנייה התלויה בהתפלגות הצפיפות והזרמים במרחב (ששקולה לחוק אמפר וחוק פאראדיי). הניסוח היחסותי לאלקטרומגנטיות נחשב לאלגנטי ביותר, אך במקרים רבים ממשיכים להשתמש בניסוח הקלאסי של מקסוול עם מרחב לחוד וזמן כפרמטר.

לתורת היחסות הפרטית לא היו הרבה יישומים מעשיים ישירים. הסיבה לכך היא שתורת היחסות הפרטית היא תאוריה לשם התאוריה, ולצורך כל יישום מעשי משתמשים בתורת היחסות הכללית, שכן את השפעת הגרביטציה אי-אפשר להזניח, ואילו יחסות פרטית מטפלת רק במערכות אינרציאליות ללא תאוצה.

ברם, לתורת היחסות הפרטית יש חשיבות תאורטית מהמעלה הראשונה וחייבים להתחשב בה כאשר רוצים לפתח תאוריה המתארת תופעות אלמנטריות הן בסקלה קוונטית והן בסקלה קוסמית.
כדי לקבל תיאור נכון של תופעות קוונטיות יש להשתמש במכניקת קוונטים הבנויה על יסוד היחסות הפרטית. מכניקה קוונטית יחסותית פותחה לראשונה על ידי הפיזיקאי פול דיראק, ולבסוף בתורת השדות הקוונטית, שהיא הבסיס למודל הסטנדרטי.

חשיבותה של תורת היחסות הפרטית היא בפתרון הסתירות של פיזיקת המאה ה־19 ובהיותה בסיס מחשבתי ופילוסופי ליחסות הכללית.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

עיינו גם בפורטל

P physics-2.png

פורטל הפיזיקה מהווה שער לחובבי הפיזיקה ולמתעניינים בתחום. בפורטל תוכלו למצוא מידע על פיזיקאים חשובים, על ענפי הפיזיקה, על תאוריות פיזיקליות ועוד.

פיזיקה יחסותית:

פיזיקה של המאה ה־19:

מתמטיקה:

מדענים:

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]