תורת הקבוצות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תורת הקבוצות היא תורה מתמטית בסיסית העוסקת במושג הקבוצה, שהיא אוסף מופשט של איברים. התורה מאפשרת טיפול מתמטי מדויק במושגי יסוד במתמטיקה כגון יחס, פונקציה, מספר ואינסוף.

את תורת הקבוצות החל לפתח גאורג קנטור ב-1870, בעקבות קשיים שהתעוררו בתורת הפונקציות הממשיות. קנטור חקר קבוצות של נקודות אי-רציפות, ואחר-כך קבוצות כלליות יותר. את מחקריו סיכם בשני מאמרים שפורסמו ב-1895 וב-1897 תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים" (במקור - בגרמנית), בכתב-העת Mathematische Annalen.

בתחילת המאה ה-20 התגלו בתורת הקבוצות פרדוקסים שנבעו מהיותה מתירנית מדי וחסרת ביסוס אקסיומטי נאות. לשם פתרון בעיות אלה פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, ובעקבות צעד זה ההתייחסות לתורת הקבוצות ללא הביסוס האקסיומטי הקפדני נקראת תורת הקבוצות הנאיבית. תורת הקבוצות הנאיבית עודנה נלמדת כקורס בסיסי באוניברסיטאות, שכן היא פשוטה יותר להבנה ומרבית רעיונותיה נכונים גם בגרסה האקסיומטית.

ביחד עם לוגיקה וענפים אחרים במתמטיקה, תורת הקבוצות האקסיומטית מהווה חלק עיקרי ביסודות המתמטיקה, כאשר מהאקסיומות שלה נובעים המשפטים הבסיסיים שעליהם חלקים אלה מתבססים. בין היתר תורת הקבוצות דנה במושג הסדר של קבוצה (הגדרה ופיתוח הנושא של סדר האיברים בקבוצה), הגודל - העוצמה שלה (מבחינה אינטואיטיבית - כמה איברים יש בקבוצה), ובבניית מערכות המספרים הבסיסיות והוכחת תכונותיהן - הטבעיים, השלמים, הרציונליים, הממשיים והמרוכבים.

הגדרת הקבוצה ויחסים בין קבוצות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מנקודת מבט לוגית, נתבונן בעצם כלשהו (אם זהו מספר, סימול מופשט כלשהו, או קבוצה אחרת), ונשאל את השאלה: "האם העצם הזה הוא איבר בקבוצה A?". כלומר, על כל עצם x כלשהו נוכל להגיד אך ורק אחת משתי האפשרויות הבאות:

  • "העצם x איבר בקבוצה A" או
  • "העצם x אינו איבר בקבוצה A".

נסמן שייכות זו בסימון הבא: x\in A, כלומר x איבר בקבוצה A. (איבר אינו יכול "להופיע פעמיים" בקבוצה - או שהוא שייך לה, או שאינו שייך). נסמן אי שייכות בסימון הבא: x\notin A, כלומר x אינו איבר בקבוצה A.

נתבונן עתה בקבוצה A כלשהי, ועליה נשאל, "האם בקבוצה A יש איברים?"

  • אם אין בה איברים, זוהי הקבוצה הריקה ונסמן אותה: A=\empty.
  • אם קיימים בה איברים, אז היא אינה קבוצה ריקה לכן A\ne\empty.

את הקבוצה A שבה קיימים שלושת האיברים a, b ,c נסמן:

A=\left\{a,b,c\right\}

יחסים בין קבוצות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אומרים ש-A מוכלת ב-B או חלקית ל-B (ומסמנים A\subseteq B) אם כל איבר של A הוא איבר של B. יחס חשוב זה מגדיר את השוויון בין קבוצות: קבוצות הן שוות אם יש להן אותם איברים, כלומר A=B אם ורק אם A\subseteq B וגם B\subseteq A. זו תכונה מהותית של קבוצות, הממחישה שאין להן מבנה או תכונות מעבר לרשימת האיברים שהן מכילות. שילוב היחסים מאפשר להגדיר חלקיות ממש: A חלקית ממש לקבוצה B אם ורק אם היא חלקית לה, אך אינה שווה לה; במקרה זה כותבים A\subset B או A\varsubsetneq B. בעוד שיחס ההכלה הוא יחס סדר חלש, חלקיות אמיתית היא יחס סדר חזק.

קבוצה אינסופית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מתי קבוצה היא "סופית", ומתי היא "אינסופית"? נתאר קבוצה אשר מייצגת את כל המספרים הטבעיים, כלומר ...1,2,3 אשר כבר מוכרים לנו מחיי היום יום ונגדיר אותה חלקית:

 N = \left\{1,2,3,...\right\}

הקבוצה N מוגדרת באופן שאינו מאפשר "לספור" את איבריה, כלומר, אם ננסה לספור אותם אז תמיד יהיו איברים נוספים בקבוצה שעלינו לספור. תכונה זו נלמדה על ידי רבים והוצעו מספר דרכים לתאר קבוצה מסוג זה באופן מתמטי, דרך נפוצה היא בשימוש באקסיומות פאנו.

קנטור השתמש בדרך אחרת להתמודד עם בעיית הספירה וההתייחסות אל "גודלן" של קבוצות אלו. הוא חיפש דרך לבטא את פעולת הספירה ה"אינטואיטיבית" בשימוש בכלים מתמטיים כגון פונקציות (אשר קודמים לרעיון ה"מספר"). ולמעשה "להרחיב" את היחסים המוכרים בין הקבוצות ה"סופיות" גם ל"אינסופיות". מציאת מיפוי (או "התאמה חד-חד ערכית") בין קבוצות, שהיא למעשה פונקציה חד-חד ערכית מ-A על B, מרמזת על כך ששתי קבוצות סופיות יהיו באותו "גודל":

למשל לקבוצות הסופיות A, B המוגדרות:

 A = \left\{1,2,3,4\right\}
 B = \left\{c,d,e,f\right\}

נבנה פונקציה חד-חד ערכית מ-A על B: (בשימוש בזוגות סדורים)

 f = (A,B,\left\{(1,c),(2,d),(3,e),(4,f)\right\})

מקיום המיפוי נסיק שקבוצות אלו הן "באותו גודל". מצאנו דרך מתמטית לטפל בהשוואת "גודלן" של קבוצות סופיות. במינוח המתמטי, יחס זה נקרא שקילות בין קבוצות. וקבוצות שביניהן ניתן למצוא יחס כזה נקראות שקולות או שוות עצמה.

נבדוק עכשיו שקילות של קבוצות אינסופיות כלשהן, למשל, קבוצות המספרים הטבעיים, והטבעיים הזוגיים המוגדרות:

 N = \left\{1,2,3,...\right\}
 N_2 = \left\{2,4,6,...\right\}

נגדיר פונקציה:

 f: N \to N_2,\quad f(x)=2x

פונקציה זו, המוגדרת בין שתי הקבוצות, היא חד-חד ערכית ועל. מסקנה: קבוצת המספרים הטבעיים שקולה לקבוצת המספרים הטבעיים הזוגיים.

בשימוש בהתאמות למציאת עצמת קבוצות, הוצאו מספר תוצאות מזהירות (ולעתים מפתיעות) ביחסים בין קבוצות אינסופיות. ביניהן: קנטור הוכיח קיום שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים למספרים הרציונליים. כמו כן, אי שקילות בין כל קבוצה לקבוצת החזקה שלה (משפט קנטור) ואי שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים לממשיים (האלכסון של קנטור).

קבוצות אלו נקראות בעלות עוצמה (או מספר קרדינלי) שונה, ונמצאו קבוצות אינסופיות רבות נוספות בעלות עוצמות שונות. מושג העוצמה משמש כיום ככלי מרכזי בהתייחסות מתמטית ל"גודלן" של קבוצות אינסופיות (וסופיות).

נגדיר עכשיו מהי קבוצה אינסופית. בניגוד להבנה האינטואיבית של קבוצה אינסופית כ"קבוצה שלא ניתן לספור את איבריה" שבה השתמשנו עד כה. נגדיר קבוצה אינסופית באופן מדויק יותר:

קבוצה אינסופית היא קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.

או לחלופין:

קבוצה היא אינסופית אם ורק אם קיימת פונקציה חד-חד ערכית מ-A ל-A שאינה על A.

פעולות על קבוצות[עריכת קוד מקור | עריכה]

דיאגרמת ון של החיתוך של A ו-B

באוסף של קבוצות מתקיימות הפעולות הבאות:

  • איחוד: האיחוד של שתי קבוצות \ A ו-\ B הוא קבוצה המכילה את כל האיברים של \ A ואת כל האיברים של \ B, בלי איברים אחרים. האיחוד של \ A ו-\ B נכתב בדרך כלל כך: \ A\cup B.
בכתיב פורמלי:
\ x\isin A\cup B (\ x הוא איבר ב-\ A\cup B) אם ורק אם \ x\isin A או \ x\isin B.
  • חיתוך: החיתוך של שתי קבוצות \ A ו-\ B הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב-\ A ששייכים גם ל-\ B (או באופן שקול, כל האיברים ב-\ B ששייכים גם ל-\ A), ורק אותם. החיתוך של \ A ו-\ B נכתב בדרך כלל כך: \ A\cap B.
בכתיב פורמלי:
\ x\isin A\cap B (\ x הוא איבר ב-\ A\cap B) אם ורק אם \ x\isin A וגם \ x\isin B.
  • משלים: משלים של קבוצה G הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-G. זאת ביחס לקבוצה U כלשהי שהיא "הקבוצה האוניברסלית" - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של U.
  • הפרש: ההפרש בין קבוצה \ A לקבוצה \ B הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ששייכים ל-\ A אך לא ל-\ B.
בכתיב פורמלי:
\ x\isin A - B (\ x הוא איבר ב-\ A - B) אם ורק אם \ x\isin A וגם \ x\not\in B.
או \ A - B = \ A\cap B'
  • הפרש סימטרי: הפרש סימטרי של שתי קבוצות \ A ו-\ B הוא הקבוצה \ C המורכבת מכל איברי \ A שלא שייכים ל-\ B וכל איברי \ B שלא שייכים ל-\ A - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
בכתיב פורמלי: ההפרש הסימטרי, המסומן \ \Delta מוגדר כדלהלן:
\ A \Delta B = (A - B) \cup (B - A) = (A \cup B) - (A \cap B)

פרדוקסים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרת מושג הקבוצה באופן שמאפשר, הלכה למעשה, לכל עצם להיכלל בה, מובילה למספר פרדוקסים, בהם הפרדוקס של ראסל. בעקבות הסתירה אליה הוביל הפרדוקס של ראסל, ובעיות נוספות, בהן הגדרת "קבוצת כל הקבוצות" והשלכותיה ביחס לקבוצת החזקה שלה (ראו פרדוקס קנטור) והפרדוקס של בורלי-פורטי, והצורך לבסס את רעיון הקבוצה באופן אקסיומטי, פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, שהיא למעשה התורה אליה לרוב מתכוונים היום מתמטיקאים כאשר הם מדברים על "תורת הקבוצות". האקסיומטיזציה של ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל (אקסיומות צרמלו-פרנקל) מטילה מספר מגבלות על הגדרות של קבוצות כדי להימנע מהסתירות בתורה הנאיבית שהודגמו לעיל, והיא כיום הדרך המקובלת להתייחס לקבוצות באופן פורמלי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]


נושאים בתורת הקבוצות

תורת הקבוצות הנאיביתתורת הקבוצות האקסיומטיתקבוצהיחידוןהקבוצה הריקהאיחודחיתוךמשליםהפרש סימטריקבוצת החזקהמכפלה קרטזיתיחסיחס שקילותפונקציהעוצמהקבוצה בת מנייההאלכסון של קנטורמשפט קנטור שרדר ברנשטייןהשערת הרצףהפרדוקס של ראסלסדר חלקימספר סודרהלמה של צורןאקסיומת הבחירה