מספר טבעי

מספר טבעי הוא מספר שלם חיובי, המתאר מספר אברים בקבוצה סופית, כמו 1,2,3 או 17. מקובל לסמן את קבוצת המספרים הטבעיים באות $\mathbb {N}$. המספר אפס נחשב טבעי לפי הגדרות אחדות, ואינו טבעי לפי הגדרות אחרות.

המספרים הטבעיים הם הקלים ביותר להבנה, והראשונים שנלמדים על ידי ילדים. למספרים טבעיים שתי מטרות:

• ספירה, למשל: יש שלושה תפוחים על השולחן.
• סדר, למשל: זו העיר השלישית בגודלה במדינה.

תכונותיהם של המספרים הטבעיים נחקרות במסגרת תורת המספרים.

קבוצת המספרים הטבעיים היא בת מנייה, כלומר עוצמתה היא $\!\, \aleph_0$ (אלף אפס).

הגדרה ובנייה

המספרים הטבעיים הם הראשונים שהופיעו כמושגים נבדלים: מספר טבעי סופר את האיברים בקבוצה. אפשר לראות את ההבחנה שיש משהו משותף בקבוצה של שלושה אנשים, שלושה תפוחים או שלושה נמרים כהכללה המתמטית הראשונה שעשו בני האנוש. לאופולד קרונקר אמר ש"האל יצר את המספרים הטבעיים - כל השאר הוא יציר האדם".

במסגרת היציקה המודרנית של המתמטיקה לשפת תורת הקבוצות, הציע הלוגיקאי גוטלוב פרגה שהמספר שלוש הוא, בפשטות, קבוצת כל הקבוצות שיש בהן שלושה איברים (היינו, שהאברים שלהן נמצאים בהתאמה לקבוצה מסוימת בת שלושה איברים). בגישה זו יש פרדוקסים, הנובעים מכך שאוסף כל הקבוצות הוא מקור לפרדוקסים מחמת גודלו, ואינו יכול להוות קבוצה בפני עצמו (ראו פרדוקס קנטור).

הבניה של מערכת פאנו מאפשרת לקבוע שמספר טבעי הוא איבר של מערכת פאנו (כל המודלים של אקסיומות פאנו הם איזומורפיים).

פון נוימן הציע בנייה מפורשת, המקובלת היום כייצוג סטנדרטי של המספרים הטבעיים בתוך תורת הקבוצות האקסיומטית: המספר 0 מוגדר כקבוצה הריקה, וכל מספר $\ n$ מוגדר כקבוצה $\ n = \{0,1,\dots,n-1\}$. כך למשל, $\ 4 = \{0,1,2,3\} = \{\phi,\{\phi\},\{\phi,\{\phi\}\},\{\phi,\{\phi\},\{\phi,\{\phi\}\}\}\}$.