מספר טבעי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מספר טבעי הוא מספר שלם חיובי, המתאר מספר אברים בקבוצה סופית, כמו 1,2,3 או 17. מקובל לסמן את קבוצת המספרים הטבעיים באות $\mathbb {N}$ . המספר אפס נחשב טבעי לפי הגדרות אחדות, ואינו טבעי לפי הגדרות אחרות.

המספרים הטבעיים הם הקלים ביותר להבנה, והראשונים שנלמדים על ידי ילדים. למספרים טבעיים שתי מטרות:

ספירה, למשל: יש שלושה תפוחים על השולחן.
סדר, למשל: זו העיר השלישית בגודלה במדינה.

תכונותיהם של המספרים הטבעיים נחקרות במסגרת תורת המספרים.

קבוצת המספרים הטבעיים היא בת מנייה, כלומר עוצמתה היא $\!\, \aleph_0$ (אלף אפס).

[עריכה] היסטוריה

המספרים הטבעיים הם הראשונים שהופיעו כמושגים נבדלים: מספר טבעי סופר את האיברים בקבוצה. אפשר לראות את ההבחנה שיש משהו משותף בקבוצה של שלושה אנשים, שלושה תפוחים או שלושה נמרים כהכללה המתמטית הראשונה שעשו בני האנוש. לאופולד קרונקר העיר כי "האל יצר את המספרים הטבעיים - כל השאר הוא יציר האדם".

במסגרת היציקה המודרנית של המתמטיקה לשפת תורת הקבוצות, הציע הלוגיקאי גוטלוב פרגה שהמספר שלוש הוא, בפשטות, קבוצת כל הקבוצות שיש בהן שלושה איברים (היינו, שהאברים שלהן נמצאים בהתאמה לקבוצה מסוימת בת שלושה איברים). בגישה זו יש פרדוקסים, הנובעים מכך שאוסף כל הקבוצות גדול מכדי להוות קבוצה בפני עצמו.

הבניה של מערכת פאנו מאפשרת לקבוע שמספר טבעי הוא איבר של מערכת פאנו (כל המודלים של אקסיומות פאנו הם איזומורפיים).

פון נוימן הציע בנייה מפורשת, המקובלת היום כייצוג סטנדרטי של המספרים הטבעיים בתוך תורת הקבוצות האקסיומטית: המספר 0 מוגדר כקבוצה הריקה, וכל מספר $\ n$ מוגדר כקבוצה $\ n = \{0,1,\dots,n-1\}$ . כך למשל, $\ 4 = \{0,1,2,3\} = \{\phi,\{\phi\},\{\phi,\{\phi\}\},\{\phi,\{\phi\},\{\phi,\{\phi\}\}\}\}$ .

מערכות מספרים
מספרים	המספרים הטבעיים $\mathbb{N}$ • מערכת פאנו • חוג המספרים השלמים $\mathbb{Z}$ (מספרים חיוביים ושליליים, מספר שלם) • שדה המספרים הרציונליים $\mathbb{Q}$ (מספר רציונלי, מספר אי רציונלי) • שדה המספרים הממשיים $\mathbb{R}$ (הישר הממשי, מספר ממשי) • שדה המספרים המרוכבים $\mathbb{C}$ (המישור המרוכב, מספר מרוכב , מספר מדומה)
הרחבות של חוג המספרים השלמים	חוג השלמים של גאוס $\ \mathbb{Z}[i]$ • חוג השלמים האלגבריים $\ \overline{\mathbb{Z}}$
הרחבות של שדה המספרים הרציונליים	שדה מספרים • שדה המספרים האלגבריים $\ \overline{\mathbb{Q}}$ (מספר אלגברי, מספר טרנסצנדנטי) • שדה המספרים ה-p-אדיים $\mathbb{Q}_p$ (מספר p-אדי) • שדה ציקלוטומי
מעבר למרוכבים	אלגברת הקווטרניונים של המילטון $\ {\mathbb{H}}$ • אוקטוניונים $\ {\mathbb{O}}$ • אלגברות קיילי-דיקסון

מספר טבעי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

[עריכה] היסטוריה

צפיות

כלים אישיים

חיפוש

ניווט

קהילה

תיבת כלים

שפות אחרות