מטריצת קושי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, מטריצת קושי היא מטריצה A בגודל m×n שאיבריה נתונים על ידי:

\,a_{ij} = \frac{1}{x_i+y_j};\qquad x_i + y_j \ne 0,\qquad 1\le i\le m,\qquad 1\le j \le n

כאשר \,x_i ו-\,y_j הן סדרות של איברים השייכים לשדה \,\mathcal{F}, כך שאיברי הסדרות שונים זה מזה.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • כאשר m=n, הדטרמיננטה של מטריצת קושי, הידועה בשם דטרמיננטת קושי נתונה על ידי הנוסחה המפורשת:
 \det A={{\prod_{i<j} (x_i-x_j)\prod_{i<j} (y_i-y_j)}\over {\prod_{i,j} (x_i +y_j)}}.\,
  • מנוסחה זו, ומהעובדה שאיברי הסדרות שונים זה מזה, נקבל כי מטריצת קושי היא תמיד מטריצה הפיכה.
  • כל תת מטריצה של מטריצת קושי היא מטריצת קושי.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריצת הילברט היא מקרה פרטי של מטריצת קושי כאשר מתקיים

\,x_i+y_j=i+j-1

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • A. Gerasoulis, A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors, Mathematics of Computation, 1988; vol. 50, no. 181, pp. 179-188.
  • I. Gohberg, T. Kailath, V. Olshevsky, Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure. Mathematics of Computation, 1995; vol. 64, no. 212, pp. 1557-1576.
  • P.G. Martinsson, M. Tygert, V. Rokhlin, An O(N \log^2 N) algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices, Computers & Mathematics with Applications, 2005; 50, pp. 741-752.