מטריצה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, מטריצה היא מערך דו-ממדי, שרכיביו הם סקלרים, לרוב מספרים, או איברים בחוג כללי יותר.

האפשרות לרכז במטריצה מידע רב ולהפעיל עליה שיטות וכלים סטנדרטיים, מוצאת למטריצות שימושים רבים. השימוש השכיח ביותר במטריצות הוא לפתרון של מערכת משוואות לינאריות באמצעות דירוג מטריצות. מלבד זה חשיבותן העיקרית של המטריצות במתמטיקה, ובעיקר של מטריצות ריבועיות, נובעת מכך שניתן לייצג בעזרתן טרנספורמציות לינאריות, באופן כזה שפעולת הכפל מתאימה לפעולת ההרכבה של הטרנספורמציות. מסיבות דומות יש לאלגברות של מטריצות תפקיד מרכזי בתורת החוגים.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר n,m הם מספרים טבעיים, מטריצה מסדר m על n (או: מסדר \ m \times n) היא מערך שבו m שורות ו- n עמודות. הרכיבים הם בדרך כלל מספרים - כך למשל "מטריצה ממשית" היא מטריצה שרכיביה מספרים ממשיים, ו"מטריצה מרוכבת" היא מטריצה שרכיביה מספרים מרוכבים. אם R הוא מבנה אלגברי, "מטריצה מעל (מבנה אלגברי) R" היא מטריצה שרכיביה שייכים ל- R.

את רכיבי המטריצה מסמנים בזוג אינדקסים: הרכיב במקום שבו נפגשות השורה ה-i והעמודה ה-j במטריצה A נקרא \ A_{ij}, או לפעמים \ a_{ij}.

לדוגמה, המטריצה A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 7 \\
4&9&2 \\
6&1&5\end{bmatrix} היא מסדר 4 על 3; הרכיבים הם \ A_{3,2}=9,A_{4,3}=5, וכן הלאה.

פעולות על מטריצות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוסף המטריצות מסדר m על n מעל שדה נתון F מהווה מרחב וקטורי מעל אותו שדה, כאשר פעולת הכפל בסקלר ופעולת החיבור מוגדרות באופן טבעי, על כל רכיב בנפרד. מקובל לסמן מרחב זה בסימון \ M_{m,n}(F). את הכפל של מטריצות אין מגדירים באותה דרך, רכיב ברכיב, אלא באופן מסובך מעט יותר. המכפלה \ AB מוגדרת רק בתנאי שמספר השורות של B שווה למספר העמודות של A.

אם עבור מטריצה מתקיים \ m=n, כלומר מספר העמודות במטריצה שווה למספר השורות בה, המטריצה נקראת מטריצה ריבועית. במטריצה ריבועית A, האלכסון שרכיביו \ A_{11},\dots,A_{nn} נקרא האלכסון הראשי.

מטריצה כייצוג של העתקה לינארית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחד השימושים העיקריים למטריצות הוא ייצוג של העתקות לינאריות בין מרחבים מממד סופי: אם קובעים בסיסים סדורים לשני מרחבים V ו-W, ניתן להתאים לכל העתקה לינארית מ-V ל-W מטריצה יחידה, וכל מטריצה מייצגת טרנספורמציה לינארית יחידה. התאמה חשובה זו היא איזומורפיזם בין מרחב ההעתקות הלינאריות למרחב המטריצות מהגודל המתאים.

כדי לתאר העתקה לינארית באופן מלא, מספיק לדעת לאן היא מעבירה וקטורי בסיס של התחום. בעזרת מידע זה ותכונת הלינאריות של ההעתקה, ניתן לדעת לאן עובר כל וקטור, כפי שנדגים מיד.

נניח כי \,T היא העתקה לינארית  \ T : V \rightarrow W , ונניח גם שנתונים  \ B= \{v_1,...,v_n\} בסיס ל  \ V, ו- \ C= \{w_1,...,w_m\} בסיס ל  \ W (ברור כי ממדי המרחבים הם \,n ו-\,m בהתאמה).

עתה, נניח כי אנו יודעים איך פועלת ההעתקה על וקטורי הבסיס  \ v_i . משמע, אנו יודעים לייצג כל וקטור  \ Tv_i \in W על פי הבסיס  \ C. נכתוב זאת במפורש:

\ Tv_1 =a_{1,1} w_1 + a_{2,1} w_2 +...+a_{m,1}w_m

\ Tv_2 =a_{1,2} w_1 + a_{2,2} w_2 +...+a_{m,2}w_m

\ Tv_3 =a_{1,3} w_1 + a_{2,3} w_2 +...+a_{m,3}w_m

וכך הלאה עד

\ Tv_n =a_{1,n} w_1 + a_{2,n} w_2 +...+a_{m,n}w_m

בעזרת מידע זה בלבד, נוכל לדעת עבור כל \ v \in V את \ Tv על ידי שימוש בלינאריות. ניקח וקטור כלשהו  \ v \in V , שייצוגו לפי הבסיס  \ B הוא

 \ v = c_1 v_1 + c_2 v_2+ ... + c_n v_n , נשתמש בלינאריות כדי לקבל

 \ Tv = T(\sum_{i=1}^n c_i v_i) = \sum_{i=1}^n c_i T(v_i)

אך כפי שאמרנו, אנו יודעים בדיוק למה שווה כל  \ T(v_i), ולכן נציב ונקבל

 \ Tv = \sum_{i=1}^n c_i ( a_{1,i} w_1 + a_{2,i} w_2 +...+a_{m,i}w_m ) = \sum_{i=1}^n c_i ( \sum_{j=1}^m a_{j,i} w_j).

נקבץ את המקדמים של כל \ w_j, ונקבל

 \ Tv = (\sum_{i=1}^n c_i a_{1,i})w_1 +  (\sum_{i=1}^n c_i a_{2,i})w_2 +...+  (\sum_{i=1}^n c_i a_{m,i})w_m

בכתיבה פשוטה יותר, וקטור הקואורדינטות של  \ Tv לפי הבסיס \ C הוא

\  [Tv]_C = (\sum_{i=1}^n c_i a_{1,i}, \sum_{i=1}^n c_i a_{2,i}, ..., \sum_{i=1}^n c_i a_{m,i})

הסימון  \ [Tv]_C משמעו וקטור הקואורדינטות של הווקטור  \ Tv לפי הבסיס  \ C.

כך אנו יודעים כיצד פועלת ההעתקה על וקטור כלשהו  \ v. נשים לב כי לאחר שבחרנו בסיסים, מספיק לדעת את המקדמים \ a_{i,j} כדי להגדיר את ההעתקה ואין צורך ברצף המשוואות המסורבל המופיע למעלה, בתנאי שמסכימים מראש על הסדר. המוסכמה המקובלת היא כי המטריצה המייצגת את ההעתקה לפי הבסיסים הנתונים היא

[T]^B_C = \begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & ... & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & ... & a_{2,n} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & ... & a_{3,n} \\
: & : & : &\ddots  & : \\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & ... & a_{m,n} \\
\end{bmatrix}

  • הסימון \ [T]^B_C משמעו: המטריצה המייצגת את ההעתקה  \ T : V \rightarrow W לפי הבסיס \,B בתחום \,V והבסיס \,C בטווח \,W.
  • המקדמים במטריצה הם בדיוק המקדמים המופיעים ברצף המשוואות מתחילת הפסקה, בשינוי סדר קל. העמודה ה-\,i במטריצה מורכבת מהמקדמים מהשורה ה-\,i ברצף המשוואות. משמע, העמודה ה-\,i היא ייצוגו של וקטור הבסיס ה-\,i של התחום, לפי הבסיס של הטווח.
  • במפורש: האיבר ה-\ a_{i,j} במטריצה הוא המקדם ה-\,i בווקטור הקואורדינטות של התמונה של הווקטור ה-\,j בבסיס \,B, בייצוג על פי הבסיס \,C. מטריצה מסדר \ m \times n מייצגת העתקה ממרחב \,n-ממדי למרחב \,m-ממדי.

מציאת התמונה של וקטור כלשהו, הופכת עתה לפעולה פשוטה של כפל מטריצות. אם ניקח וקטור כלשהו \ v \in V, שייצוגו על פי \,B הוא

 \ v = c_1 v_1 + c_2 v_2+ ... + c_n v_n ,

על מנת למצוא את תמונתו נצטרך פשוט לבצע את כפל המטריצות

 [T(v)]_C = [T]^B_C \cdot [v]_B =  \begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & ... & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & ... & a_{2,n} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & ... & a_{3,n} \\
: & : & :& \ddots &  : \\
a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & ... & a_{m,n} \\
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3 \\
: \\
c_n \\
\end{bmatrix}

הסימון  \ [v]_B משמעו וקטור הקואורדינטות של הווקטור  \ v לפי הבסיס  \ B.

ההתאמה בין ההעתקות למטריצות[עריכת קוד מקור | עריכה]

האיזומורפיזם בין העתקות למטריצות המייצגות אותן הוא שימושי מאוד:

  • נניח כי \,T,S הן העתקות לינאריות  \ T,S : V \rightarrow W , וכן נתונים  \ B בסיס ל- \ V, ו- \ C בסיס ל- \ W, אזי  \ [T+S]^B_C = [T]^B_C + [S]^B_C , במילים - המטריצה המייצגת את סכום ההעתקות \,T ו-\,S היא המטריצה המתקבלת מסכימת המטריצות המייצגות את \,T ו-\,S.
  •  \ [cT]^B_C=c[T]^B_C , ובמילים - המטריצה המייצגת את כפל ההעתקה \,T בסקלר היא המטריצה המתקבלת מכפל המטריצה המייצגת את \,T באותו סקלר.
  • נניח כי \ T,S הן העתקות לינאריות \ S : V \rightarrow W , \ T : W \rightarrow U , וכן נתונים \ B בסיס ל-\ V,  \ C בסיס ל-\ W, ו- \ D בסיס ל- \ U, אזי  \ [T \circ S]^B_D = [T]^C_D \cdot [S]^B_C , כאשר ב-\ [T \circ S]^B_D הכוונה היא להרכבת ההעתקות, וב-\ [T]^C_D \cdot [S]^B_C הכוונה היא לכפל מטריצות. במילים - המטריצה המייצגת את הרכבת ההעתקות \,T ו-\,S היא המטריצה המתקבלת מכפל המטריצות המתאימות ל-\,T ו-\,S. למעשה, זו הסיבה שכפל מטריצות, שאינו נעשה בדרך אינטואיטיבית, הוגדר כך. מכאן מובן גם מדוע כפל מטריצות מוגדר רק אם מספר השורות של המטריצה הימנית שווה למספר העמודות של המטריצה השמאלית.

נוכח התאמה מרשימה זו, שגיאה נפוצה היא לזהות מטריצה עם העתקה לינארית. כזכור, לכל מטריצה מתאימה העתקה לינארית יחידה, רק לאחר שנבחר בסיס בתחום ובטווח. לפני הגדרת בסיסים אלה כל מטריצה (שאינה סקלרית) יכולה לייצג אינסוף העתקות לינאריות, ולהפך. כמו כן, יש לשים לב כי המוסכמה היא ייצוג של טרנספורמציות הפועלות על וקטורים כמטריצות הפועלות על וקטורי עמודה בכפל מימין, אך באותה מידה ניתן היה להגדיר את ההפך - כפל משמאל. אז מטריצה מסדר \ m \times n הייתה מייצגת טרנספורמציה ממרחב \,m ממדי למרחב \,n ממדי והווקטורים היו וקטורי שורה.

מרחבי שורות, עמודות ופתרונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב השורות של מטריצה \ A בגודל \ m\times n הוא המרחב הנפרש על ידי וקטורי שורותיה (\ m וקטורים ב-\ F^n), ומרחב העמודות של מטריצה הוא המרחב הנפרש על ידי עמודותיה (\ n וקטורים ב- \ F^m).

דרגת שורות \ A היא הממד של מרחב שורותיה, ודרגת עמודות \ A היא ממד מרחב העמודות שלה בהתאם. ניתן להוכיח כי עבור כל מטריצה דרגת השורות שווה לדרגת העמודות. על כן, אומרים לרוב בפשטות דרגת המטריצה.

מרחב הפתרונות של A הוא מרחב כל הווקטורים שפותרים את המשוואה Ax=0. משפט בסיסי קובע שסכום ממד מרחב הפתרונות של A עם הדרגה של A הוא מספר העמודות שלה, n.

מבנה אלגברי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוסף כל המטריצות מסדר  \ m \times n מעל שדה \mathbb{F} המסומן \operatorname{ Hom }(\mathbb{F}^n,\mathbb{F}^m) מהווה מרחב וקטורי מממד \ n\cdot m. מקרה חשוב במיוחד הוא אוסף כל המטריצות הריבועיות מסדר  \ n \times n מעל שדה \mathbb{F}. קבוצה זו מסומנת \operatorname {M_n} (\mathbb{F}) ומהווה חוג לא קומוטטיבי עם יחידה, שלו מספר תת-חוגים מעניינים. אוסף כל המטריצות ההפיכות מסדר  \ n \times n מעל שדה \mathbb{F} המסומן \operatorname {GL_n} (\mathbb{F}) (General linear group) מהווה חבורה ביחס לכפל מטריצות. אוסף כל המטריצות ההפיכות מסדר  \ n \times n מעל שדה \mathbb{F}, שהדטרמיננטה שלהן היא אחד, המסומן \operatorname {SL_n} (\mathbb{F}) (Special linear group) הוא תת-חבורה חשובה שלו.

מטריצה משוחלפת[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מטריצה משוחלפת

מטריצה משוחלפת (Transposed Matrix) היא מטריצה שהתקבלה ממטריצה אחרת על ידי הפיכת כל שורה לעמודה (שחלוף).

הגדרה פורמלית תהא \!\, A מטריצה מסדר \!\, n\times m. המטריצה המשוחלפת שלה, שתסומן \!\, A^t (מקובלים גם הסימונים Atr , tA , AT או ′A) ,

היא מטריצה מסדר \!\, m\times n שמוגדרת כך: \!\, (A^t)_{ij}=(A)_{ji}, עבור כל \!\, 1\le i\le m, 1\le j\le n.

דוגמאות:

\begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^t \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}\quad\quad \mbox{and}\quad\quad 
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^t  \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;

מטריצה ריבועית[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מטריצה ריבועית

מטריצה ריבועית היא מטריצה שמספר העמודות שלה שווה למספר השורות. בניגוד לסתם מטריצות, המייצגות העתקות לינאריות ממרחב אחד למרחב אחר, מטריצות ריבועיות יכולות לייצג העתקות ממרחב אל עצמו, ולכן האוסף \ M_n(F) של מטריצות ריבועיות מסדר n על n מעל שדה F, סגור לכפל, ומהווה אלגברה, הקרויה אלגברת המטריצות.

הדיון במטריצות ריבועיות עשיר במיוחד, וכולל התייחסות לסוגים מיוחדים אחדים של מטריצות ריבועיות, ובהן מטריצת היחידה, מטריצה הפיכה, מטריצה סינגולרית, מטריצה משוחלפת, מטריצה סימטרית, מטריצה אנטי-סימטרית, מטריצה הרמיטית, מטריצה יוניטרית, מטריצה נילפוטנטית ומטריצה סטוכסטית, וכמו כן למטריצה ריבועית מוגדרת הדטרמיננטה שלה, שהיא כלי חשוב במספר תחומים.

שפות תכנות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בשפות תכנות מיוצגת מטריצה באמצעות מערך דו-ממדי. חבילות תוכנה לתכנות מדעי כוללות גם פונקציות לפעולות על מטריצות, כגון שחלוף וכפל.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]