מטריצה הפיכה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, מטריצה ריבועית תיקרא הפיכה אם קיימת מטריצה ריבועית אחרת, כך שמכפלתן היא מטריצת היחידה. שמות נוספים למטריצה הפיכה הם מטריצה רגולרית ומטריצה לא סינגולרית.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ A מטריצה מסדר \ n\times n. המטריצה תיקרא "הפיכה" אם קיימת מטריצה אחרת, שתסומן \ A^{-1} ותיקרא המטריצה ההופכית של \ A, כך שמתקיים \ AA^{-1}=A^{-1}A=I_n, כאשר \ I_n היא מטריצת היחידה מסדר \ n\times n, בפעולת כפל מטריצות סטנדרטי.

מטריצה שאינה הפיכה תיקרא סינגולרית (או לא הפיכה).

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריצות הפיכות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפי ההגדרה, כדי להראות שמטריצה מסוימת היא הפיכה, מספיק למצוא מטריצה נוספת כך שמכפלתן היא מטריצה היחידה. לכן, דוגמה טריוויאלית למטריצה לא סינגולרית היא מטריצת היחידה עצמה, \ I_n .

דוגמה נוספת היא המטריצה:

\ A= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} מטריצה זו הפוכה לעצמה: \ A^2 = I_2.

מטריצות לא הפיכות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריצת האפס היא לא הפיכה, כי תוצאת המכפלה של כל מטריצה עם מטריצת האפס היא שוב מטריצת האפס, ואף פעם לא \ I_n.

גם המטריצה הבאה היא לא הפיכה:

\ A= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

ניתן לראות זאת על ידי המכפלה הבאה:

\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} A =\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

אם הייתה מטריצה \ B כך שהיה מתקיים \ AB=I_n אז היה אפשר להכפיל את השוויון מימין באותה מטריצה ולקבל מצד אחד:

\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} (A B) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} I_n = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

ומצד שני, מתכונת האסוציאטיביות של כפל מטריצות, ביטוי זה שקול ל:

\left( \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} A \right) B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

וזו כמובן סתירה. למעשה, זוהי תכונה כללית של כפל בחוגים - אם איבר מסוים הוא מחלק אפס אז הוא לא יכול להיות הפיך. בחוג המטריצות תכונה זו אפילו חזקה יותר- מטריצה היא סינגולרית אם ורק אם היא מחלקת אפס.

שיטות למציאת המטריצה ההפכית[עריכת קוד מקור | עריכה]

את המטריצה ההופכית של מטריצה הפיכה מסדר 2 ניתן להציג באופן כללי על ידי הנוסחה הבאה:

 A =
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \,

A^{-1} =
\frac{1}{ad-bc}
\begin{pmatrix}
\ d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
\, \ ,

זהו מקרה פרטי של הנוסחה הנכונה לכל מטריצה:

\ A \cdot \mathrm{adj}(A) = \det A \cdot I

כאשר \ \mbox{adj}(A) היא המטריצה המצורפת ל-\ A ו-\ I היא מטריצת היחידה. כאשר הדטרמיננטה אינה אפס מתקבל מהנוסחה, על ידי העברת אגפים, שהמטריצה ההופכית היא המטריצה המצורפת חלקי הדטרמיננטה.

דרך נוספת למציאת מטריצה הפיכה היא לשרשר את מטריצת \ I מימין למטריצה \ A ולמצוא קומבינציה לינארית של השורות אשר תניב את המטריצה \ I|A^{-1} .

לדוגמה את המטריצה

 A =
\begin{bmatrix}
1 & -1 & -2 \\
2 & -3 & -5 \\
-1 & 3 & 5
\end{bmatrix}

נרשום את המטריצה:

 A:I = \left[ \begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0\\
2 & -3 & -5 & 0 & 1 & 0\\
-1 & 3 & 5 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right]

ונדרגה:

 \left[ \begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0\\
0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 1
\end{array} \right]



\left[ \begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\
0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 1
\end{array} \right]


\ \


\left[ \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & -1 & 3 & -1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1 & -3 & 2 & 1
\end{array} \right]


\ \


\left[ \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0 & 5 & -3 & -1\\
0 & 0 & 1 & -3 & 2 & 1
\end{array} \right]

ולכן


A^{-1} =
\begin{bmatrix}
 0 & 1 & 1\\
 5 & -3 & -1\\
 -3 & 2 & 1
\end{bmatrix} 


\ \

יש להדגיש כי לא כל המטריצות הפיכות ואפשר לראות זאת באמצעות השיטה הזו. למשל

 A =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 7 \\
2 & -1 & 4
\end{bmatrix} 

\ \

נרשום:

 A:I =
\left[ \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 5 & 1 & 0 & 0\\
1 & 2 & 7 & 0 & 1 & 0\\
2 & -1 & 4 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right]

ונדרג


\left[ \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 5 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0\\
0 & -3 & -6 & -2 & 0 & 1
\end{array} \right]


\ \


\left[ \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 3 & 2 & -1 & 0\\
0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -5 & 3 & 1
\end{array} \right]


\ \

המטריצה האחרונה אליה הגענו אינה ניתנת להפיכה למטריצה מן הסוג \ I : A^{-1} ועל כן המטריצה \ A היא בלתי הפיכה.

הוכחה לשיטת הבלוקים: נשים לב שביצוע סדרת פעולות על שורות מטריצה (דירוג מטריצות) שקול לכפל במטריצה הפיכה B. מאחר שמבצעים את אותן פעולות על A ו-I מקבלים:  BA : BI אבל אם מגיעים ל-BA=I הרי ש-B=A^{-1} וזו בדיוק המטריצה המתקבלת בבלוק הימני (כלומר: I:B = I:A^{-1}).‏ \square

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תנאים שקולים להפיכות[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ A מטריצה מסדר \ n\times n. כל התנאים הבאים שקולים, כלומר אם אחד מתקיים, כולם מתקיימים:

תכונות אלגבריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהיו A ו-B מטריצות הפיכות.

קבוצת המטריצות ההפיכות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לפי מה שכתוב לעיל, ניתן להציג את קבוצת כל המטריצות ההפיכות כקבוצת המטריצות שהדטרמיננטה שלהן לא מתאפסת:

\ \mathbf{GL}_n (F) = \left\{ A \in F^{n \times n} | \ \ \det \ A \ne 0 \right\}

מתכונות הכפליות של הדטרמיננטה (דטרמיננטה של מכפלה היא מכפלת הדטרמיננטות), או משיקולים כללים לגבי הפיכות בחוגים, מכפלת שתי מטריצות הפיכות היא מטריצה הפיכה - כלומר קבוצה זו סגורה תחת כפל. לעומת זאת, חיבור וחיסור מטריצות הפיכות לא יניב בהכרח מטריצה הפיכה. מסמנים את קבוצת כל המטריצות ההפיכות \ \mathbf{GL}_n (F) והיא נקראת החבורה הלינארית הכללית מעל השדה \ F (ביחס לכפל מטריצות). קבוצה זו היא אכן חבורה, לא קומוטטיבית, עם פעולת כפל מטריצות.

מבחינה טופולוגית קבוצה זו היא קבוצה פתוחה, כיוון שהיא מתקבלת כהעתקה ההפוכה של פונקציית הדטרמיננטה (שהיא פונקציה רציפה), של הקבוצה הפתוחה \ F - \left\{ 0 \right\}. קבוצה זו צפופה במרחב המטריצות. בגאומטריה דיפרנציאלית, קבוצה זו היא יריעה חלקה, ואף אנליטית מממד \ n^2 כאשר F=\mathbb{R} או F=\mathbb{C}. בנוסף, יחד עם פעולת כפל מטריצות, קבוצה זו מהווה חבורת לי.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הפיכוּת מצד אחד[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריצה A נקראת הפיכה משמאל אם קיימת מטריצה P כך ש PA=I. ההופכית השמאלית P אינה נקבעת ביחידות אם A אינה ריבועית.

בדומה, מטריצה A נקראת הפיכה מימין אם קיימת מטריצה Q כך ש AQ=I.

מטריצה שהפיכה גם מימין וגם משמאל היא מטריצה הפיכה, ובפרט היא ריבועית. מטריצה שהפיכה רק מצד אחד אינה ריבועית.

הפכי מור-פנרוז[עריכת קוד מקור | עריכה]

מושג המטריצה ההופכית הוכלל על-ידי אליקים מור ורוג'ר פנרוז עבור מטריצות כלשהן; ראו (Moore–Penrose pseudoinverse).

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]