מרחב מנה (אלגברה לינארית)

באלגברה לינארית, המנה של מרחב וקטורי $V$ בתת-מרחב $N$ הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" $N$ ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו נקרא מרחב מנה וסימנו: $V/N$.

הגדרה

את ההגדרה המובאת להלן בנה פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו Finite dimensional vector spaces. יהא V מרחב וקטורי מעל שדה F ו-W תת מרחב שלו. מגדירים יחס ב-V : $x \sim y \Leftrightarrow x-y \in W$ עבור x,y וקטורים ב־V זהו יחס שקילות.

מחלקת השקילות של וקטור x ב־V היא: $[x]=\left\{y \in V : x \sim y\right\}$

מגדירים פעולת חיבור מחלקות כך: $\left[x\right] + \left[y\right] = \left[x + y\right]$
וכן מגדירים כפל מחלקה בסקלר a מהשדה F: $a\left[x\right]=\left[ax\right]$
ומתקבל מרחב וקטורי המכונה מרחב המנה של V מעל W המסומן: V/W.

הוכחת ~ יחס שקילות

• רפלקסיביות: מאחר ש x ∈ W מתקיים x-x = 0 ∈ W.
• סימטריות: x-y ∈ W ומשום תכונת הסגירות במרחב גם מתקיים y-x ∈ W.
• טרנזיטיביות: x-y,y-z ∈ W ומשום תכונת הסגירות במרחב גם מתקיים (x-y)+(y-x) = x-z ∈ W.

דוגמאות למרחב מנה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ראו פירוט בדף השיחה.