משפט ההתכנסות הנשלטת

במתמטיקה, משפט ההתכנסות הנשלטת של אנרי לבג הוא משפט על האינטגרל של הגבול של סדרת פונקציות מדידות, המתכנסת נקודתית. לפי המשפט, אם כל הפונקציות בסדרה חסומות (כלומר, "נשלטות") על ידי פונקציה אינטגרבילית, אז האינטגרל של הגבול שווה לגבול של האינטגרלים. לפעמים מנוסח המשפט עבור פונקציות שהן אינטגרביליות לפי לבג, אך הוא תקף גם עבור פונקציות שהן אינטגרביליות לפי רימן.

ניסוח פורמלי

אם $\ f_1,f_2,f_3,\dots$ היא סדרה של פונקציות ממשיות מדידות $\ f_k:X\to\mathbb{R}$ אשר מתכנסת נקודתית לפונקציית גבול $\ \lim_{k\to\infty}f_k=f$, ואם קיימת פונקציה אינטגרבילית לבג $\ g$ שהאינטגרל שלה סופי כך ש-$\ |f_k|\le g$ כמעט בכל מקום לכל אברי הסדרה, אז גם כל אברי הסדרה וגבולה אינטגרביליים עם אינטגרל סופי, ומתקיים $\ \lim_{k\to\infty}\int_X f_kd\mu=\int_X fd\mu$.

הוכחה

הוכחת המשפט מתבססת על הלמה של פאטו, אשר מטפלת בצורה כללית יותר במקרה הפרטי שבו כל הפונקציות בסדרה הן אי שליליות. ניתן יהיה להשתמש בלמה בזכות העובדה ש-$\ g$ חוסמת את כל אברי הסדרה.

כיוון ש-$\ |f_k|\le g$ אז $\ g+f_k$ היא פונקציה אי שלילית כמעט בכל מקום, ניתן להשתמש עליה בלמה של פאטו ולקבל:

$\ \int_X g d\mu+\int_X f d\mu=\int_X \left(g+f\right)d\mu=\int_X \lim_{k\to\infty}\left(g+f_k\right) d\mu\le\liminf_{k\to\infty}\int_X \left(g+f_k\right) d\mu=\int_X g d\mu +\liminf_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu$, כאשר $\ \liminf$ מסמן את הגבול התחתון של הסדרה.

לאחר חיסור $\ \int_X g d\mu$ משני האגפים (דבר שעבורו נדרש שהאינטגרל יהיה סופי) מקבלים:

$\ \int_X f d\mu\le \liminf_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu$

ניתן לעשות את אותו הדבר גם עם הפונקציה האי שלילית $\ g-f_k$, ולקבל:

$\ \int_X -f d\mu\le \liminf_{k\to\infty}\int_X -f_k d\mu=-\limsup_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu$ כאשר $\ \limsup$ הוא הגבול העליון. כלומר:

$\ \int_X f d\mu\ge \limsup_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu$

ומהשוואת שתי התוצאות קיבלנו:

$\ \limsup_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu\le\int_X f d\mu\le\liminf_{k\to\infty}\int_X f_k d\mu$

מכיוון שאגף שמאל תמיד גדול מאגף ימין, כל אי השוויונים הופכים לשוויונות, ולכן קיבלנו את התוצאה המבוקשת.

ראו גם

• משפט ההתכנסות המונוטונית