משתמש:Ron12334/קבוצות קנטור מוכללות

לאחר הסרת הקטעים השחורים, הנקודות הלבנות שנותרו מהוות קבוצה דלילה בעלת מידת לבג 1/2.

במתמטיקה, קבוצת קנטור מוכללת, היא דוגמה לקבוצת נקודות במישור הממשי שהינה קבוצה דלילה (בפרט היא אינה מכילה קטעים לא מנוונים), ובכל זאת הינה בעלת מידת לבג חיובית. קבוצת קנטור המוכללת הינה הכללה של קבוצת קנטור ושתיהן נקראות על שם המתמטיקאי גיאורג קנטור. במאמר משנת 1875, המתמטיקאי הנרי סמית' דן בקבוצה דלילה בעלת מידה חיובית על המישור הממשי, והמתמטיקאי ויטו וולטרה הציג דוגמה דומה ב־1881. בעוד קבוצת קנטור המוכרת כיום התפרסמה בשנת 1883. מבחינה טופולוגית קבוצות קנטור המוכללות מקבילות מבחינה טופולוגית לקבוצת קנטור הסטנדרטית.

בנייה

בדומה לבניית קבוצת קנטור, קבוצת קנטור מוכללת בנויה על ידי הסרת קטעים מסוימים מקטע היחידה $\left[0,1\right]$.

התהליך מתחיל בהסרת ה-1/4 האמצעי מהמרווח $[0,1]$ (זהה כמו הסרת 1/8 משני צידי הנקודה האמצעית ב-1/2) כך שהסט הנותר הוא

$$\left[0,{\tfrac {3}{8}}\right]\cup \left[{\tfrac {5}{8}},1\right].$$

השלבים הבאים מורכבים מהסרת מרווחי משנה של רוחב $1/4^{n}$ מאמצע כל אחד מה $2^{n-1}$ מרווחים שנותרו. אז לשלב השני המרווחים $(5/32,7/32)$ ו $(25/32,27/32)$ מוסרים, עוזבים

$$\left[0,{\tfrac {5}{32}}\right]\cup \left[{\tfrac {7}{32}},{\tfrac {3}{8}}\right]\cup \left[{\tfrac {5}{8}},{\tfrac {25}{32}}\right]\cup \left[{\tfrac {27}{32}},1\right].$$

אם נמשיך ללא הגבלת זמן עם ההסרה הזו, ערכת Smith-Volterra-Cantor היא קבוצת הנקודות שלעולם לא מוסרות. התמונה למטה מציגה את הסט הראשוני וחמש איטרציות של תהליך זה.

כל איטרציה שלאחר מכן במבנה של הסט Smith–Volterra–Cantor מסיר באופן יחסי פחות מהמרווחים הנותרים. זה עומד בניגוד לסט Cantor, שבו הפרופורציה שהוצאה מכל מרווח נשארת קבועה. לפיכך, לסט של סמית'-וולטרה-קנטור יש מידה חיובית ואילו לקבוצת קנטור יש מידה אפס.

נכסים

לפי בנייה, הסט של Smith–Volterra–Cantor אינו מכיל מרווחים ולכן יש לו פנים ריק. זה גם הצומת של רצף של קבוצות סגורות, מה שאומר שהוא סגור. במהלך התהליך, מרווחים של אורך כולל

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{2^{2n+2}}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\,$$

מוסרים מ $[0,1],$ מראה שלקבוצת הנקודות הנותרות יש מידה חיובית של 1/2. זה הופך את סמית'-וולטרה-קנטור להוות דוגמה לסט סגור שלגבול שלו יש מידה חיובית של לבס .

סטים שמנים אחרים של קנטור

באופן כללי, אפשר להסיר $r_{n}$ מכל תת-מרווח שנותר ב- $n$ השלב ה' באלגוריתם, ובסופו של דבר עם סט דמוי קנטור. לקבוצה המתקבלת תהיה מידה חיובית אם ורק אם סכום הרצף קטן מהמדד של המרווח ההתחלתי. לדוגמה, נניח את מרווחי האורך האמצעיים $a^{n}$ מוסרים מ $[0,1]$ לכל אחד $n$ האיטרציה, עבור חלקם $0\leq a\leq {\dfrac {1}{3}}.$ לאחר מכן, לסט המתקבל יש מידה של לבגס

$${\begin{aligned}1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a^{n+1}&=1-a\sum _{n=0}^{\infty }(2a)^{n}\\[5pt]&=1-a{\frac {1}{1-2a}}\\[5pt]&={\frac {1-3a}{1-2a}}\end{aligned}}$$

אשר יוצא מ $0$ ל $1$ כפי ש $a$ הולך מ $1/3$ ל $0.$ ( $a>1/3$ בלתי אפשרי בבנייה זו.)

ניתן להשתמש במוצרים קרטזיאניים של ערכות Smith–Volterra–Cantor כדי למצוא סטים מנותקים לחלוטין בממדים גבוהים יותר עם מידה שאינה אפס. על ידי החלת משפט Denjoy–Riesz על קבוצה דו-ממדית מסוג זה, ניתן למצוא עקומת אוסגוד, עקומת ירדן כך שלנקודות על העקומה יש שטח חיובי.

ראה גם

• ערכת Smith–Volterra–Cantor משמשת לבניית הפונקציה של וולטרה (ראה קישור חיצוני).
• סט Smith–Volterra–Cantor הוא דוגמה לסט קומפקטי שאינו ניתן למדידה של Jordan, ראה מידה של Jordan#Extension to more complicated sets .
• פונקציית האינדיקטור של קבוצת Smith–Volterra–Cantor היא דוגמה לפונקציה מוגבלת שאינה ניתנת לשילוב של רימן על (0,1) ויותר מכך, אינה שווה כמעט בכל מקום לפונקציה אינטגרלית של רימן, ראה אינטגרל רימן#דוגמאות .
• List of topologies – רשימת טופולוגיות קונקרטיות ומרחבים טופולוגיים

הפניות

שגיאות פרמטריות בתבנית:הערות שוליים
פרמטרים [ 1 ] לא מופיעים בהגדרת התבנית

[[קטגוריה:מרחבים טופולוגיים]] [[קטגוריה:תורת המידה]] [[קטגוריה:פרקטלים]] [[קטגוריה:דפים עם תרגומים שלא נסקרו]]