קבוצת קנטור

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, קבוצת קנטור היא קבוצה שנבנית בצורה האיטרטיבית הבאה: מקטע ישר מסירים את השליש האמצעי, ומבצעים פעולה דומה בכל אחד משני הקטעים שנותרו, כך שנשארים עם ארבעה קטעים. ממשיכים את התהליך גם על הקטעים שנותרו, וכך הלאה עד אינסוף.

קבוצה זו תוארה בידי המתמטיקאי גאורג קנטור בשנת 1883. חשיבותה הרבה היא בתכונותיה המיוחדות, שסותרות את האינטואיציה ומציגות מעט ממורכבותו ומייחודו של האינסוף. תכונות אלה דחפו את קנטור לפתח את תורת הקבוצות. קרוב למאה שנים מאוחר יותר נמנתה קבוצת קנטור עם הקבוצות שעליהן ביסס בנואה מנדלברוט את רעיון הפרקטל.

קבוצת קנטור מחדדת את משמעותם של מושגי העוצמה והמידה, מושגים שהם הכללות מתמטיות למושגים "כמות איברים" ו"אורך" (בהתאמה), שהם שני מאפיינים המהווים מדד לגודלה של קבוצה. באופן אינטואיטיבי ניתן לצפות שככל שקבוצה ארוכה יותר יהיו בה יותר איברים, ובפרט, שבקבוצה שאורכה 0 יהיו פחות איברים מאשר בקבוצה שאורכה 1 - אך אין הדבר כך. קבוצת קנטור היא בעלת מידה (אורך) אפס, אך יש בה אינסוף איברים; למעשה מספר האיברים שלה שווה למספר האיברים בקטע המקורי כולו (ובפרט, יש בה כל-כך הרבה איברים עד שלא ניתן לסדרם בסדרה, כלומר יותר איברים מאשר כל המספרים הטבעיים יחדיו).

מבחינה טופולוגית, קבוצת קנטור מאופיינת בכך שהיא המרחב המטרי הקומפקטי המושלם היחיד (עד כדי הומיאומורפיזם) שהוא לא קשיר לחלוטין. אחת התכונות הטופולוגיות החשובות של קבוצה זו היא שכל מרחב מטרי קומפקטי מהווה תמונה רציפה שלה.

איור המציג את שבעת השלבים הראשונים בבניית קבוצת קנטור

בניית קבוצת קנטור[עריכת קוד מקור | עריכה]

בנייה איטרטיבית[עריכת קוד מקור | עריכה]

באופן פורמלי, בנייה של קבוצת קנטור נעשית בצורה איטרטיבית:

  • בשלב הראשון, מחלקים את הקטע [0,1] לשלושה חלקים שווים. מסירים מהקטע [0,1] את השליש האמצעי, שהוא הקטע הפתוח (2/3 , 1/3). נותרים שני קטעים סגורים, שאורך כל אחד מהם הוא \ 3^{-1} (כלומר שליש).
  • בשלב השני, מחלקים כל אחד משני הקטעים שנותרו, כלומר הקטעים [1/3 , 0] ו-[1 , 2/3] לשלושה חלקים שווים ומסירים שוב את הקטע הפתוח האמצעי בכל אחד מהם (במקרה שלנו - את (2/9 , 1/9) ו (8/9 , 7/9). נותרים 4 קטעים סגורים שאורך כל אחד מהם הוא תשיעית, כלומר: \ 3^{-2}.
  • בשלב מספר n מחלקים כל קטע שנותר לשלושה חלקים שווים ושוב מסירים מכל קטע את הקטע הפתוח האמצעי. לאחר ההסרה, נותרים \ 2^{n} קטעים סגורים, שאורך כל אחד מהם הוא \ 3^{-n}.

נסמן את הקבוצה שהתקבלה בשלב ה-\,n-י ב-\ A_n, אזי קבוצת קנטור מוגדרת כחיתוך בן-מנייה של כל הקבוצות הללו

\ C = \bigcap_{n=1}^{\infty}{A_n}

כלומר, קבוצת קנטור היא אוסף כל הנקודות בקטע [0,1] שלא הוסרו בתהליך המתואר לעיל.

בנייה לפי בסיס 3[עריכת קוד מקור | עריכה]

Cantor base 3.svg

אפשר לקבל את קבוצת קנטור אם אוספים את כל המספרים בקטע [0,1] שאפשר לכתוב אותם בבסיס 3 בלי להשתמש בספרה 1.

בשביל להיווכח שכך מתקבלת קבוצת קנטור, נשים לב שבבסיס 3 המספר 1/3 נכתב כ-0.1 ואילו 2/3 כ-0.2. כלומר בשלב הראשון באלגוריתם האיטרטיבי המוזכר למעלה אנחנו מוחקים את כל המספרים מהצורה ...0.1xxxxxx , לבד אלה שבהם כל ה-x-ים הם 0 (כלומר 0.1) או כל ה-x-ים הם 2 (כלומר 0.2 = ...0.12222), ונשארים רק עם מספרים מהצורה ...0.0xxxxxx או ...0.2xxxxxx .

יש לשים לב שגם את 1 אפשר לכתוב כ- ...0.22222 ואת 0.1 אפשר לכתוב כ ...0.02222, וכך לא להשתמש בספרה 1, ולכן שתי נקודות אלה שייכות לקבוצת קנטור.

בשלב הבא מחלקים את הקטעים [0,0.1] ו [0.2,1] לשלישים. בקטע הראשון אנחנו מוחקים את כל המספרים מהצורה ...0.01xxxxx (חוץ מאלה בהם כל ה-x-ים זהים, כלומר שני הקצוות) ונשארים עם מספרים מהצורה ...0.00xxxxx או ...0.02xxxxx , ומהקטע השני את כל המספרים מהצורה ...0.21xxxxx, ונשארים עם מספרים מהצורה ...0.20xxxxx או ...0.22xxxxx.

אם כן האיטרציה ה-n-ית באלגוריתם האיטרטיבי מטפלת במספרים בהם הספרה 1 הראשונה מופיעה במקום ה-n-י אחרי הנקודה (לפי בסיס 3).

בנייה רקורסיבית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר לתת גם הגדרה רקורסיבית: "קבוצת קנטור היא הקבוצה המתקבלת משיבוץ עותק מוקטן של קבוצת קנטור בשליש הראשון והשליש האחרון של הקטע [0,1]". זוהי אמנם הגדרה מעגלית, אבל קל 'לתקן' אותה להגדרה מדויקת: קבוצת קנטור היא תת-הקבוצה הגדולה ביותר (ביחס להכלה) של הקטע [0,1], השווה לאיחוד של עותק מוקטן שלה בשליש הראשון, עם עותק מוקטן שלה בשליש האחרון.

על מנת לקבל את קבוצת קנטור האמיתית צריך להשתמש ברקורסיה אינסופית כאמור למעלה. אבל לכל שימוש גרפי מעשי צריך לקבוע תנאי קצה בו אחרי קבוצת קנטור בעומק מסוים של הרקורסיה תצוייר כקו עליה היא נבנית (או כשתי הנקודות בקצהו).

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת קנטור היא בעלת עוצמת הרצף, אבל אינה מכילה אף קטע פתוח, ומידת לבג שלה היא אפס. כחיתוך (בן מניה) של איחודים סופיים של קטעים סגורים, היא מהווה קבוצה סגורה.

מבוא אינטואיטיבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם נסכם את ארכי הקטעים שהסרנו בזמן הבניה, נקבל

\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \ldots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n-1}}{3^{n}} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{1-\frac{2}{3}}\right) = 1.

כלומר - הסרנו קטעים באורך כולל של 1. מכאן שה"אורך" של הקבוצה הנותרת הוא אפס. למרות זאת, לא רק שנותרות נקודות, "מספר" הנקודות שנשארו שווה למספר הנקודות בקטע שממנו התחלנו. (באופן פורמלי, קבוצת קנטור היא "שוות עוצמה" לקטע [0,1]).

קבוצת קנטור היא הדוגמה הנפוצה ביותר לקבוצה שאינה בת מנייה שמידת לבג שלה היא מידה אפס. זהו מצב מפתיע.

עוצמתה של קבוצת קנטור[עריכת קוד מקור | עריכה]

עיון בתהליך הבנייה של הקבוצה מראה מיד שנקודות הקצה של כל קטע שנוצר בתהליך הבנייה, כגון 2/3 ו-1/3 בצעד הראשון, אינן מוסרות (ולכן הן נכללות בקבוצת קנטור). כיוון שבתהליך יש מספר בן מנייה של צעדים, הרי נובע שעוצמתה של קבוצת קנטור אינה קטנה מ-\!\, \aleph_0 (עוצמת הטבעיים). אף שעלול להיווצר הרושם כי רק נקודות הקצה הללו נכללות בקבוצת קנטור, לא זה המצב - גם הנקודה 1/4, למשל, שאינה נקודת קצה, נכללת בה: הנקודה 1/4 נמצאת בקטע השמאלי בצעד הראשון, בקטע הימני בצעד השני, בקטע השמאלי בצעד השלישי וכך הלאה, עד אינסוף, היא לעולם אינה נמצאת בשליש האמצעי, שאותו מסירים בתהליך.

נוכיח שבקבוצת קנטור נשארו \aleph איברים (עוצמת הרצף). עוצמה זו זהה לעוצמת הנקודות בקטע והיא גדולה מעוצמת הטבעיים (לפי האלכסון של קנטור). נעשה זאת על ידי כך שנראה שקיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת קנטור לבין קבוצת כל המספרים שבפיתוח הטרינרי שלהם לא מופיעה הספרה 1. כזכור, פיתוח בבסיס עשרוני לכל 0 \le x \le 1 הוא

\ x = \sum_{n=1}^{\infty}{ x_n \cdot 10^{-n}} כאשר x_n \in \{0,1,\dots,9\},

(פיתוח זה איננו יחיד שכן 1 ואחריו סדרה אינסופית של אפסים שקול ל 0 ואחריו סדרה אינסופית של תשיעיות)

באותו אופן אפשר לרשום פיתוח בבסיס 3:

\ x = \sum_{n=1}^{\infty}{ x_n \cdot 3^{-n}} כאשר x_n \in \{0,1,2\}.

נסתכל בקבוצת כל 0 \le x \le 1 כך ש 1 לא מופיע בפיתוח הטרנארי שלהם, כלומר, כל ה x-ים בקטע [0,1] כך ש

\ x = \sum_{n=1}^{\infty}{ x_n \cdot 3^{-n}} כאשר \ x_n \in \{0,2\}.

לכל מספר כזה, אפשר להתאים נקודה בקבוצת קנטור. יותר פשוט לתאר כיצד לכל נקודה בקבוצת קנטור אפשר להתאים ייצוג טרנארי של מספר בקטע [0,1].

  • שלב ראשון: עבור x בקטע [0,1] נסתכל בשני תת-הקטעים המתקבלים מבניית קבוצת קנטור: אם x בקטע השמאלי יותר - נרשום 0 בספרה הראשונה בפיתוח, אם הוא בקטע הימני יותר - נרשום 2.
  • שלב שני: נסתכל בתת-הקטע שבו x מוכל. נסתכל על תתי-הקטע שלו המתקבלים מקבוצת קנטור: אם x בקטע השמאלי יותר - נרשום 0 בספרה השנייה בפיתוח, אם הוא בקטע הימני יותר - נרשום 2.
  • ...
  • שלב n-י: נסתכל בתת-הקטע שבו x מוכל. נסתכל בשני תת-הקטעים המתקבלים מבניית קבוצת קנטור: אם x בקטע השמאלי יותר - נרשום 0 בספרה ה n-ית בפיתוח, אם הוא בקטע הימני יותר - נרשום 2.

לפי הלמה של קנטור נקבל שחיתוך בן מנייה של כל קטעים אלה יתכנס לנקודה יחידה x ובאמצעות הבניה לעיל הראנו את הצגתו בצורה טרינארית. מתיאור זה ברור גם איך אפשר לשכן כל מספר שבפיתוח הטרינארי שלו מופיעים רק הספרות 0 או 2 בקבוצת קנטור. מכאן, זה ברור מדוע ההתאמה בין שתי הקבצות היא חד-חד-ערכית ועל.

נותר להוכיח שקבוצת כל המספרים בעלי פיתוח טרינארי שלא מופיעה בו הספרה 1 אינה בת מנייה; אבל ההתאמה \ \sum_{n=1}^{\infty} x_n 3^{-n} \mapsto \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} x_n 2^{-n} (פונקציית קנטור) היא התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת קנטור לקטע [0,1].

מידתה של קבוצת קנטור[עריכת קוד מקור | עריכה]

בשלב ה-n-י של הבניה האיטרטיבית אנו מכסים את קבוצת קנטור בקטעים שסכום הארכים שלהם שווה ל- \left( 2/3 \right) ^n. מכיוון שסדרה זו שואפת לאפס, המידה של קבוצת קנטור היא אפס.

קבוצת קנטור היא פרקטל[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת קנטור היא אבטיפוס של פרקטל. היא בעלת דמיון-עצמי מכיוון שהיא מהווה איחוד של שני עותקים של עצמה, כאשר כל עותק מכווץ בגורם שליש (כלומר: קטן פי 3) ומוזז. ממד האוסדורף של הקבוצה הוא \ \frac{\ln(2)}{\ln(3)} = \log_3 2 \approx 0.63. אפשר להשוות את המספר המתקבל לממד האוסדורף של קבוצה סופית (שהוא תמיד אפס) מחד, ולממד של קטע (קטן ככל שיהיה), שהוא תמיד 1, מאידך (ראו פירוט על ממד פרקטלי בערך ממד האוסדורף).

תכונות טופולוגיות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת קנטור יורשת את המטריקה הרגילה של הישר הממשי, וכך היא מהווה מרחב מטרי. הקבוצה סגורה בטופולוגיה המטרית של הישר הממשי, מכיוון שהמשלים שלה בקטע [0,1] הוא איחוד של קטעים פתוחים. מאחר שהקבוצה חסומה, משפט היינה בורל מבטיח שהיא קבוצה קומפקטית. מכאן נובע גם שהיא שלמה.

אם קטע פתוח מכיל נקודה של קבוצת קנטור, אז הוא מכיל אינסוף נקודות שלה. לכן, כל נקודה בקבוצת קנטור היא נקודת הצטברות. קבוצה כזאת נקראת בטופולוגיה "קבוצה מושלמת".

קבוצת קנטור היא קבוצה דלילה (nowhere dense) שכן הפנים שלה ריק. היא לא קשירה לחלוטין כי היא לא מכילה אף קטע לא טריוויאלי (קטעים הם הקבוצות הקשירות היחידות בישר). תכונות אלה מאפיינות את קבוצת קנטור באופן מלא: כל מרחב מטרי טופולוגי מושלם שהוא לא קשיר לחלוטין, שקול מבחינה טופולוגית (כלומר, הומיאומורפי) לקבוצת קנטור. יתרה מזו, כל מרחב מטרי קומפקטי הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור (לפרטים ראו פונקציית קנטור: הכללות).

וריאציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת סמית-וולטרה-קנטור[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוצת סמית-וולטרה-קנטר (בלבן)

במקום להוריד מכל קטע את השליש האמצעי שלו, אפשר להוריד חלק בכל גודל אחר מאמצע הקטע. אם גודל הקטע קטן משליש, אפשר לבנות קבוצה הומיאומורפית לקבוצת קנטור שמידת לבג שלה היא מספר חיובי (אך היא עדיין דלילה). הקבוצה בה מורידים מכל קטע את הרבע שלו נקראת "קבוצת סמית-וולטרה-קנטור" על שם הנרי סמית וויטו וולטרה.

אבק קנטור[עריכת קוד מקור | עריכה]

אבק קנטור הוא הכללה רב-ממדית של קבוצת קנטור. ניתן להגדיר אותו כמכפלה הקרטזית של קבוצת קנטור בעצמה. כמו קבוצת קנטור, גם אבק קנטור הוא ממידה אפס.

הכללה דו-ממדית אחרת של קבוצת קנטור היא שטיח שרפינסקי, בו מתחילים עם ריבוע ומורידים מממנו את החלק האמצעי (1/9 ממנו) ומשמונת הריבועים שנותרו מורידים גם כן את האמצע, וכך עד אינסוף. הכללה דומה עבור תלת-ממד בה מורידים מכל קובייה את האמצע מכונה ספוג מנגר.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקורות חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • General Topology, Chapter 30, Stephen Willard, 1970.
ערך מומלץ
Article MediumPurple.svg