פונקציה מציינת

במתמטיקה, פונקציה מציינת, הנקראת גם פונקציה אופיינית או לעתים גם אינדיקטור, היא פונקציה המוגדרת בקבוצה $\,X$ ומציינת שייכות לתת קבוצה $\,A$ של $\,X$. הפונקציה המציינת $1_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace \,$ מוגדרת באופן הבא:

$1_A(x) = \left\{\begin{matrix} 1 &\mbox{if}\ x \in A \\ 0 &\mbox{if}\ x \notin A \end{matrix}\right.$

הפונקציה המציינת מסומנת לעתים גם כ-$\ \chi_A(x)$ או כ-$\ I_A(x)$. במקרה הפרטי של הפונקציה עבור $X=\mathbb{N}$ ו-$\,A = \lbrace 1 \rbrace$, הפונקציה נקראת פונקציית היחידה.

תכונות בסיסיות

אם $\,A$ ו-$\,B$ תת-קבוצות של $\,X$ אזי:

• תכונת החיתוך: $1_{A\cap B} = \min\{1_A,1_B\} = 1_A \cdot 1_B$
• תכונת האיחוד: $1_{A\cup B} = \max\{{1_A,1_B}\} = 1_A + 1_B - 1_A \cdot 1_B$ (עקרון ההכלה וההפרדה)
• תכונת המשלים: $1_{A^\complement} = 1-1_A$

מסקנות:

• תכונת ההפרש הסימטרי: $1_{A\triangle B} = 1_A + 1_B - 2 ( 1_A \cdot 1_B )$

רציפות

במרחב טופולוגי, הפונקציה המציינת $\,1_A$ רציפה בכל הנקודות הפנימיות של $\,A$ ושל המשלים של $\,A$, ואינה רציפה בכל הנקודות על שפת $\,A$. בכל נקודות הרציפות של $\,1_A$ הפונקציה גם גזירה, ונגזרתה היא אפס.

הקשר לקבוצת החזקה

קבוצת הפונקציות המצינות, $\ \lbrace 0,1 \rbrace^X = \lbrace1_A: X \to \lbrace 0,1 \rbrace|A \sube X\rbrace$, הינה איזומורפית לקבוצת החזקה $P(X)$. האיזומורפיזם בין הקבוצות מובהק ואף מוטמע בסימון של הפונקציה המציינת. ניתן להבין את הקשר באופן הבא: $a \in A \iff 1_A(a)=1$, כלומר איבר שייך לתת-קבוצה, אם ורק אם, הפונקציה המציינת המתאימה לקבוצה מקבלת 1 עבור האיבר. מכאן נובע ש-$|P(A)|=2^{|A|}$ (ראו עוצמה).

ראו גם

• מידה (מתמטיקה)
• תורת הקבוצות
• תורת המידה
• אלגברה בוליאנית

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.