קבוצה קומפקטית

בטופולוגיה, קבוצה קומפקטית היא תת-קבוצה של מרחב טופולוגי, המקיימת את התכונה הבאה: מכל כיסוי פתוח של הקבוצה, אפשר לשלוף תת-כיסוי סופי (ראו ההגדרות להלן). אם המרחב הטופולוגי כולו מקיים את התכונה הזו, הוא נקרא מרחב קומפקטי, ולעתים קומפקט.

מושג הקומפקטיות מכליל תכונות טובות של קטעים סגורים וחסומים על הישר הממשי, כדוגמת הקטע $\ [0,1]=\{x: 0\leq x \leq 1\}$. כדי להגדיר במלואו את מושג ה'קטע' מן הישר הממשי למרחבים כלליים יותר, נזקקים למבנה העדין של הישר הממשי, המתבטא ביחס הסדר ובמטריקה, ואלו בדרך כלל אינם זמינים. עם זאת, מתברר שתכונות רבות של הקטעים הסגורים נובעות ישירות מכך שאם מכסים קטע סגור בקטעים פתוחים, אפשר להסתפק במספר סופי של קטעים מבין אלה המשתתפים בכיסוי. לקטעים פתוחים יש אפיון טופולוגי פשוט: הם מהווים קבוצות פתוחות, ולכן אפשר להכליל את תכונת הכיסויים בקלות.

קומפקטיות היא תכונה בעלת חשיבות יסודית באנליזה מתמטית, משום שמשפטים חשובים הנוגעים לפונקציות רציפות בקטע סגור, כגון משפט קנטור על רציפות במידה שווה ומשפטי ויירשטראס, תקפים גם עבור פונקציות ממשיות שהן רציפות בקבוצה קומפקטית.

במרחב מטרי, כל קבוצה קומפקטית היא סגורה וחסומה. משפט היינה-בורל קובע שבמרחבים האוקלידיים $\ \mathbb{R}^n$, גם ההיפך נכון: כל קבוצה סגורה וחסומה במרחב כזה היא קומפקטית.

כיסויים וקומפקטיות

כיסוי פתוח של קבוצה K במרחב טופולוגי הוא אוסף של קבוצות פתוחות, שהקבוצה K מוכלת באיחוד שלהן. במלים אחרות, כל נקודה של K שייכת לאחת הקבוצות באוסף. אם אוסף קטן יותר מהווה כיסוי של אותה קבוצה K, הוא נקרא תת כיסוי.

קבוצה קומפקטית היא קבוצה בעלת התכונה הבאה: לכל כיסוי פתוח של הקבוצה, קיים תת-כיסוי סופי‏. לדוגמה, כל קבוצה סופית היא קומפקטית, ובמידת מה אפשר לחשוב על הקומפקטיות כעל הכללה טופולוגית של מושג הסופיות; הקבוצות הקומפקטיות הן 'הקבוצות הקטנות' של המרחב הטופולוגי. אם המרחב הטופולוגי כולו מקיים את התכונה הזו, הוא נקרא מרחב קומפקטי.

תכונות קרובות

אפשר לפרק את תכונת הקומפקטיות לשני מרכיבים חלשים יותר. קבוצה מקיימת את תכונת לינדלוף אם לכל כיסוי אינסופי שלה יש תת-כיסוי בן מנייה; וקבוצה נקראת קומפקטית מנייתית אם לכל כיסוי בן מנייה שלה, יש תת-כיסוי סופי. כמובן, קבוצה קומפקטית מקיימת את שתי התכונות האלה. באופן יותר כללי, בהינתן מונה k, נאמר שמרחב טופולוגי הוא k-קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו יש תת-כיסוי שעוצמתו קטנה ממש מ k.

בעזרת הדואליות בין קבוצות פתוחות וקבוצות סגורות, אפשר לנסח את תכונת הקומפקטיות גם באופן הבא: במרחב קומפקטי, אם אוסף של קבוצות סגורות מקיים את תכונת החיתוך הסופי (החיתוך של כל מספר סופי של קבוצות מהמשפחה אינו ריק), אז גם החיתוך של המשפחה כולה אינו ריק.

בספרים אחדים (במיוחד בתחום הגאומטריה האלגברית) מייעדים את התואר 'קומפקטי' רק למרחבי האוסדורף, אולם זוהי הגדרה פחות מקובלת של המושג. בספרים אלו מרחב שהוא קומפקטי ואינו האוסדורף נקרא קוואזי-קומפקטי.

קומפקטיות סדרתית

אחת התכונות החשובות של קבוצות קומפקטיות במרחבים מטריים מתוארת במשפט בולצאנו-ויירשטראס: לכל סדרה בקבוצה קומפקטית יש תת-סדרה מתכנסת. קבוצה המקיימת תכונה זו היא קומפקטית סדרתית. במרחב מטרי התכונה שקולה לקומפקטיות, אבל במרחבים טופולוגיים כלליים אלו שתי תכונות שונות, שאינן בהכרח גוררות זו את זו. במרחבים המקיימים את תכונת המניה הראשונה, קומפקטיות סדרתית שקולה לקומפקטיות מנייתית.

מכיוון שמרחב מטרי קומפקטי הוא קומפקטי סדרתית, כל מרחב כזה הוא שלם (שהרי סדרת קושי שיש לה תת-סדרה מתכנסת, היא בעצמה סדרה מתכנסת).

תכונות של קבוצות קומפקטיות

• במרחב האוסדורף, כל קבוצה קומפקטית היא סגורה.

הוכחה: תהי $\ K$ קבוצה קומפקטית ותהי $\,a$ נקודה מחוץ ל-$\ K$. מספיק להראות שקיימת קבוצה פתוחה המכילה את $\,a$ וזרה ל-$\ K$. תכונת ההפרדה $\,T_2$ מבטיחה שלכל נקודה $x\in K$ קיימות קבוצות פתוחות זרות $\ U_x$ ו- $\ V_x$, כך ש- $\ x\in U_x$ ו- $\ a\in V_x$. האוסף $\ \{U_x\}_{x\in K}$ מהווה כמובן כיסוי פתוח של $\,K$, ולפי הקומפקטיות יש לו תת-כיסוי סופי $\ U_{x_1},\dots,U_{x_n}$. החיתוך $\ V_{x_1}\cap V_{x_2}\cap \dots \cap V_{x_n}$ הוא קבוצה פתוחה המכילה את $\,a$ וזרה ל-$\,K$.

• קבוצה סגורה במרחב קומפקטי היא קומפקטית.

הוכחה: תהי $\ K$ סגורה במרחב $\ X$, ויהיה $\ \{O_\alpha\}$ כיסוי פתוח של $\ K$, אז $\ \{O_\alpha\} \bigcup \{ K^c \}$ הוא כיסוי פתוח של $\ X$ ולכן יש לו תת-כיסוי סופי, שהוא בפרט תת-כיסוי סופי של $\ K$ .

מסקנה: במרחב האוסדורף קומפקטי, קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה. מתכונה זו ניתן להראות שמרחב שהוא האוסדורף קומפקטי נמצא ב"שיווי משקל" מבחינת גודל הטופולוגיה שלו. כל טופולוגיה עדינה יותר אינה קומפקטית (כי היא מכילה קבוצה סגורה שאינה קומפקטית) וכל טופולוגיה גסה יותר אינה האוסדורף (כי היא מכילה קבוצה קומפקטית שאינה סגורה).

• במרחב מטרי, כל קבוצה קומפקטית היא חסומה, ואפילו חסומה כליל.

הוכחה: נבחר נקודה $\ x_0$ כלשהי, אז הכדורים הפתוחים $\ B(x_0,n)$ מהווים כיסוי פתוח של הקבוצה, שיש לו תת-כיסוי סופי.

• מרחב מטרי הוא קומפקטי אם ורק אם הוא שלם וחסום כליל.
• מרחב מטרי הוא קומפקטי אם ורק אם לכל קבוצה אינסופית יש נקודת הצטברות.
• מרחב מטרי הוא קומפקטי אם ורק אם הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור (ראו פונקציית קנטור: הכללות לפרטים).
• מרחב מטרי קומפקטי הוא ספרבילי.
• מרחב שהוא קומפקטי והאוסדורף הוא גם מרחב נורמלי.
• משפט טיכונוף אומר כי מרחב מכפלה הוא קומפקטי אם ורק אם כל רכיביו קומפקטיים.

• במרחב האוסדורף, חיתוך של שתי קבוצות קומפקטיות הוא קומפקטי. (במרחב $\ \mathbb{Z}\cup \{\pm \infty\}$ שבו הקבוצות הפתוחות הן הקטעים $\ [-n,n]$ ואלו המכילות את $\ \mathbb{Z}$, שתי הקבוצות $\ \mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ ו- $\ \mathbb{Z}\cup\{-\infty\}$ קומפקטיות, אבל החיתוך שלהן אינו קומפקטי).

קומפקטיות ופונקציות רציפות

המשפט היסודי בעניין זה הוא:

• תמונה רציפה של קבוצה קומפקטית היא קומפקטית.

כלומר, אם $\ X,Y$ מרחבים טופולוגיים ו- $\ f:X\rightarrow Y$ פונקציה רציפה, ו- $\ K \subseteq X$ קומפקטית, אז $\ f(K)$ קומפקטית. ההוכחה קלה מאד: אם $\ \{U_{\alpha}\}$ כיסוי פתוח של $\ f(K)$, אז $\ \{f^{-1}(U_{\alpha})\}$ כיסוי פתוח של K, ולכן יש לו תת-כיסוי סופי, שתמונתו תחת $\ f$ היא תת-כיסוי סופי של $\ f(K)$.

בפרט, פונקציה ממשית רציפה על קבוצה קומפקטית היא בעלת תמונה סגורה וחסומה, ומכאן נובעים מיד שני משפטי ויירשטראס בנוסחם הכללי:

• פונקציה ממשית רציפה על קבוצה קומפקטית מקבלת שם את המקסימום שלה.

ההכללה של משפט קנטור למרחבים מטריים קובעת כי:

• פונקציה רציפה במרחב מטרי קומפקטי, היא רציפה במידה שווה.