משתמש:Shaishyy/טרנספורמצית ג'יוקובסקי

דוגמה לטרנספורמצית ז'וגובסקי. המעגל למעלה מועתק למשטח עילוי ז'וקובסקיי.

במתמטיקה שימושית, טרנספורמצית ז'וקובסקי ,שקרויה על שם ניקולאי ז'וקובסקי, היא העתקה קונפורמית שמשמשת כדי להבין כמה עקרונות של עיצוב פרופיל אוירודינמי. הטרנספורמציה היא:

$z=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}$

כאשר $z=x+ib$ הוא מספר מרוכב במרחב החדש ו - $\zeta =\chi +i\eta$ הוא מספר מרוכב במרחב המקורי. באוירודינמיקה, הטרנספורמציה משמשת כדי לנתח זרימה פונטנציאלית סביב למשטחי עילוי ז'וקובסקיים בשני מימדים.

משטחי עילוי ז'וקובסקיים נוצרים במישור המרוכב $z$ ע"י הפעלת הטרנספורמציה על מעגל במישור $.\,\zeta$ הקאורדינאטות של מרכז המעגל משתנות, והשינוי שלהם מעצב צורה של כנף.

העיגול נמתח כך שמקיף את הנקודה בה $\zeta =-1$ (שהנגזרת שם היא 0 ) ונחתך בנקודה $.\,\zeta =1$ טרנספורמציה זאת יכולה לפעול על כל מיקום מרכז מעגל מהצורה $\mu _{x}+i\mu _{y}$ ע"י שינוי רדיוס המעגל.

טרנספורמצית ז'וקובסקי באופן כללי:

טרנספורמצית ז'וקובסקי של כל מספר מרוכב $\zeta$ ל -$z$ היא כדלהלן:

${\begin{aligned}z&=x+iy=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}\\&=\chi +i\eta +{\frac {1}{\chi +i\eta }}\\&=\chi +i\eta +{\frac {(\chi -i\eta )}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\\&={\frac {\chi (\chi ^{2}+\eta ^{2}+1)}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}+i{\frac {\eta (\chi ^{2}+\eta ^{2}-1)}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}.\end{aligned}}$

כן שהרכיבים הממשי ($x$) והמדומה ($y$) הם:

${\begin{aligned}x&={\frac {\chi (\chi ^{2}+\eta ^{2}+1)}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}\qquad {\text{and}}\\y&={\frac {\eta (\chi ^{2}+\eta ^{2}-1)}{\chi ^{2}+\eta ^{2}}}.\end{aligned}}$

טרנספורמציה של מעגל היחידה

מקרה פרטי ומיוחד של הטרנספורמציה הוא טרנספורמציה של מעגל היחידה המרוכב מכיוון שבו

$|\zeta |={\sqrt {\chi ^{2}+\eta ^{2}}}=1\quad \longrightarrow \quad \chi ^{2}+\eta ^{2}=1.$

מתקיים שהרכיב הממשי של כל מספר על המעגל הופך להיות $.\,x={\frac {\chi (1+1)}{1}}=2\chi$ והרכיב המדומה הופך בהתאם להיות $.\,y={\frac {\eta (1-1)}{1}}=0$

וכך מעגל היחידה המרוכב מועתק לקו ישר ממשי בין 2- ל 2.

טרנספורמציה של מעגלים אחרים על המישור המרוכב תיצור מגוון רחב של פרופילים אווירודינמיים.