העתקה קונפורמית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
תמונת שתי מסילות (ישרות) תחת ההעתקה \ f(z) = i \cdot z^3. ניתן לראות כי בנקודת המפגש הזווית בין המסילות המקוריות שווה לזווית בין תמונותיהן

באנליזה מרוכבת, העתקה קונפורמית היא פונקציה הולומורפית המוגדרת בתחום D, השומרת על הזווית בין עקומים בתחום. תכונה זו שקולה לכך שהנגזרת \ f'(z) לא מתאפסת בתחום D, ולכן גם לכך שהיא חד-חד-ערכית מקומית (סביב כל נקודה יש כדור שבו הפונקציה חד-חד-ערכית).

לפי משפט ההעתקה של רימן, כל שני תחומים ששפתם היא מסילה פשוטה (סגורה), קונפורמיים זה לזה; כלומר - קיימת העתקה קונפורמית וחד-חד-ערכית מאחד על השני. העתקה זו היא יחידה, עד-כדי בחירה של נקודה מן השפה שתעבור לנקודה מסוימת מן השפה, ונקודה מפנים התחום שתעבור לנקודה מסוימת מפנים התחום.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • כל פונקציה הולומורפית (לדוגמה: כל הפולינומים, האקספוננט, סינוס, קוסינוס וכו') היא קונפורמית בכל תחום שבו הנגזרת אינה מתאפסת.
  • מקרה פרטי ומעניין הוא של פונקציית האקספוננט \ w(z) = e^z . העתקה זו מעתיקה את הישרים המקבילים לציר המדומה (ישרים מהצורה \ Re(z)=C) למעגלים ברדיוס \ |w|=e^C. את הישרים המקבילים לציר הממשי (מהצורה \ Im(z)=C) היא מעתיקה לישרים היוצאים מהראשית ויוצרים זווית c עם הציר הממשי\ w=e^x (\cos C  + i \sin C). אם כן, קיבלנו שההעתקה w מעתיקה "רשת" של ישרים ניצבים ממישור z לישרים ומעגלים ניצבים במישור w.
  • טרנספורמצית מביוס היא ההעתקה \ w(z)=\frac{az+b}{cz+d}, כאשר a,b,c,d \in \mathbb{C} , וכן \ ad-bc\ne0. טרנספורמציית מביוס היא קונפורמית ובעלת תכונות מעניינות נוספות כגון שמירה על היחס הכפול ועל האינוורסיה.