זרימה פוטנציאלית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
קווי זרם של זרימה פוטנציאלית מסביב לכנף דקה NACA0012 בזווית התקפה של 11 מעלות.

בדינמיקת זורמים זרימה פוטנציאלית מתארת את שדה המהירות כגרדיאנט של פונקציה סקלרית המתארת את פוטנציאל המהירות. בגלל הגדרה זו לפוטנציאל המהירות מתקבל שזרימה פוטנציאלית מאופיינת בשדה מהירות אי רוטציוני שמשמש כקירוב טוב ליישומים רבים. אי הרוטציוניות של זרימה פוטנציאלית נובע מכך שהרוטור של הגרדיאנט של פונקציית הפוטנציאל תמיד שווה לאפס.

עבור זרימה בלתי דחיסה פוטנציאל המהירות מקיים את משוואת לפלס, ועבור מקרים אלו התאוריה הפוטנציאלית תקפה. חשוב לציין שלמרות זאת זרימה פוטנציאלית משמשת גם כדי לתאר זרימות דחיסות.

הגישה הפוטנציאלית מיושמת במידול של זרימות נייחות כמו גם במידול של זרימות לא נייחות.

יישומים של זרימה פוטנציאלית: שדה זרימה סביב כנף דקה, גלי מים, זרימה אלקטרו-אוסמוטית ועוד. היא לא תקפה לעומת זאת עבור זרימות או מקרים מסוימים בתוך זרימות אשר יש בהם אפקטים ערבוליים חזקים. עוד נציין ששימוש בזרימה פוטנציאלית נעשה בעיקר בזרימות המאופיינות במספרי ריינולדס גבוהים ( Re >>1) כלומר, זרימה פוטנציאלית מזניחה השפעות של חיכוך שנגרמת כתוצאה מצמיגות הזורם.

מאפיינים ויישומים[עריכת קוד מקור | עריכה]

תיאור ומאפיינים[עריכת קוד מקור | עריכה]

זרימה פוטנציאלית מורכבת על ידי סופרפוזיציה של זרימות פשוטות
קווי זרם של זרימה פוטנציאלית בלתי דחיסה מסביב לגליל בזרימה מציפה.

בדינמיקת זורמים זרימה פוטנציאלית מתוארת על ידי פונקציית פוטנציאל φ שבמקרה הכללי הינה פונקציה של המרחב והזמן. מהירות הזרימה מתוארת על ידי השדה הווקטורי v ששווה לגרדיאנט של פונקציית הפוטנציאל.‏[1]

V = \nabla\varphi

יש המגדירים לפעמים את המהירות בצורה הבאה:

V = -\nabla\varphi

אבל אנחנו נשתמש בהגדרה הראשונה (ללא המינוס).

מחשבון וקטורי ניתן לקבל שהרוטור של הגרדיאנט שווה לאפס‏[1]

\nabla\times\nabla\varphi = 0

וכתוצאה מכך מתקבל שהערבוליות (שהיא הרוטור של שדה המהירות שווה לאפס גם כן:‏[1]

\nabla\times V = 0

משתמע מכך שזרימה פוטנציאלית הינה זרימה אי-רוטציונית.

לתוצאה זו יש השלכות ישירות עבור המקרים שבהם ניתן (או לא ניתן) ליישם זרימה פוטנציאלית. באזורים בזרימה שבהם ידוע שהערבוליות חשובה, כמו שבלים במים או שכבות גבול, הזרימה הפוטנציאלית לא מצליחה לספק תחזיות סבירות על הזרימה.‏[2] למזלנו ישנם אזורים רבים בשדה זרימה שבהם ההנחה של זרימה אי רוטציונית תקפה, ובשל כך נעשה שימוש בזרימה פוטנציאלית ביישומים רבים, למשל: בזרימות מסביב כנף דקה, בעיות אקוסטיות, גלי מים ובזרימה אלקרטו - אוסמוטית.‏[3]

זרימה בלתי דחיסה[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור המקרה של זרימה בלתי דחיסה - למשל עבור נוזל, או גז במספרי מאך נמוכים, אבל לא עבור גלי קול - דיברגנץ המהירות שווה לאפס‏[1]

\nabla\cdot V = 0

כתוצאה מכך מתקבל שפונקציית פוטנציאל המהירות צריכה לקיים את משוואת לפלס[1]

\nabla^2\varphi = 0

כאשר \nabla\cdot\nabla = \nabla^2 הינו הלפלסיאן (לעתים מסומן ב - Δ). במקרה זה הזרימה נקבעת באופן מוחלט מהקינמטיקה שלה, כלומר מההנחות של שדה אי רוטציוני ושהדיברגנץ של המהירות הינו אפס. הדינמיקה של הבעיה יכולה להיות מחושבת לאחר מכן אם אנו מעוניינים בחישוב לחצים, לדוגמה עבור זרימה מסביב לכנף דקה (ואגב כך חישוב כח העילוי, למשל שיעבוד על הכנף) על ידי שימוש בעקרון ברנולי. עבור המקרה הדו-ממדי, הבעיה של זרימה פוטנציאלית מצטמצמת לבעיה מאד פשוטה שמנותחת על ידי שימוש באנליזה קומפלסקית (פירוט בהמשך הערך).

זרימה דחיסה[עריכת קוד מקור | עריכה]

זרימה תמידית[עריכת קוד מקור | עריכה]

זרימה פוטנציאלית יכולה לשמש על מנת למדל זרימה דחיסה אי רוטציונית. פונקציית הפוטנציאל המלאה המארת זרימה במצב מתמיד נתונה ע"י:‏[4]

(1- M_x^2)\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + (1- M_y^2)\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + (1-M_z^2)\frac{\partial^2\phi}{\partial z^2} - 2M_xM_y\frac{\partial^2\phi}{\partial x \partial y} - 2M_yM_z\frac{\partial^2\phi}{\partial y \partial z} -2M_zM_x\frac{\partial^2\phi}{\partial z \partial x} = 0

כאשר רכיבי מספר מאך הינם: M_z = \frac{1}{a}\frac{\partial \phi}{\partial z} , M_y = \frac{1}{a}\frac{\partial \phi}{\partial y} , M_x = \frac{1}{a}\frac{\partial \phi}{\partial x}

כאשר a הינה מהירות הקול הלוקאלית.

מהירות הזורם במקרה זה גם כן שווה ל - \nabla\phi , כאשר Φ הינה פונקציית פוטנציאל המהירות. פונקציית הפוטנציאל המלאה תקפה עבור זרימה תת-קולית, קולית, ועל קולית, בזווית התקפה כלשהי , כל עוד שההנחה של זרימה אי רוטציונית נשמרת. עבור המקרה של זרימה תת-קולית או על-קולית בזוויות התקפה קטנות ועבור גופים דקים, ניתן להניח הנחה נוספת: ניתן לפצל את פוטנציאל המהירות לזרימה מציפה בלתי מופרעת בכיוון X: V_\infty , ומהירות מופרעת קטנה \nabla\varphi לכן:‏[4]

\nabla\phi = V_\infty X + \nabla\varphi

עבור מקרה זה המשוואה הלינארית (שעברה לינאריזציה) עבור הפרעות קטנות של הפוטנציאל - שהינה קירוב למשוואה הפוטנציאלית המלאה - ניתנת לכתיבה: (1-M_\infty^2)\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = 0

כאשר \frac{V_\infty}{a_\infty} = M_\infty הינו מספר המאך של הזרימה המציפה. המשוואה הלינארית הרבה יותר פשוטה למימוש וניתן לצמצמה למשוות לפלס על ידי הנחנה שהגודל האופייני בכיוון X גדול בהרבה יותר מאשר בכיוונים האחרים.

גלי קול[עריכת קוד מקור | עריכה]

ערכים ראשיים : קול, אקוסטיקה, משוואת הגלים.

ניתן לקרב גלי קול בעלי אמפליטודה נמוכה על ידי מודל זרימה פטנציאלית‏[5] בצורה הבאה: \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = \bar{a}\nabla^2\varphi שהיא משוואת גלים לינארית לגבי פוטנציאל המהירות φ. החלק האוסצילטורי של וקטור המהירות V קשור לפוטנציאל המהירות על ידי V=\nabla^2\varphi כאשר \bar{a} היא מהירות הקול הממוצעת בתווך הומוגני. נשים לב שגם החלקים האוסצילטורים של הלחץ P והצפיפות ρ מקיימים באופן עצמאי את משוואת הגלים בקירוב זה.

יישומיות ומגבלות[עריכת קוד מקור | עריכה]

זרימה פוטנציאלית לא כוללת בתוכה את כל המאפיינים שזרימות שונות כוללות בתוכן בעולם האמיתי. למשל, זרימה פוטנציאלית לא כוללת בתוכה טורבולנציה, שהיא צורה שכיחה של זרימה בטבע. בנוסף, זרימה פוטנציאלית לא יכולה לתאר זרימות פנימיות צמיגות.‏[2] מזרימה פוטנציאלית גם מתקבלות כמה תחזיות שלא תואמות את המציאות, כמו פרדוקס ד'למבר, שאומר שכח הגרר שפועל על גוף נח בשדה זרימה אינסופי הינו אפס. (פרדוקס זה ייושב על ידי הצגת הרעיון של שכבות גבול). או אם נדייק, זרימה פוטנציאלית לא לוקחת בחשבון התנהגות של זרימות שכוללות בתוכן שכבות גבול.‏[2] למרות זאת, הבנה של זרימה פוטנציאלית חשובה בהרבה ענפים של מכניקת זורמים. במיוחד זרימות פוטנציאליות פשוטות (נקראות זרימות אלמנטריות) כמו , ערבול או מקור\בור אשר קיים עבורם פתרון אנליטי סגור. את הפתרונות הללו ניתן לשלב על ידי עקרון הסופרפוזיציה על מנת ליצור זרימות יותר מסובכות אשר מקיימות מגוון של תנאי שפה שונים (כמו למשל מידול של השפעת פיצוץ על קיר ועוד). בנוסף, זרימות אלו תואמות (אף על פי שלעתים לא במדויק) זרימות בחיים האמיתיים בכל התחומים של מכניקת זורמים ; בנוסף, ניתן לקבל תובנות רבות וחשובות כאשר מתחשבים בסטייה (שלפעמים יכולה להיות קטנה מאד) בין תצפיות של זרימה והזרימה הפוטנציאלית התואמת. ישנם יישומים רבים של זרימה פוטנציאלית למשל בעיצוב מטוסים. לדוגמה , בדינמיקת זורמים חישובית טכניקה אחת היא לחבר פתרון של זרימה פוטנציאלית מחוץ לשכבת הגבול לפתרון לשדה הזרימה בתוך שכבת הגבול. התוצאה של היעדר שכבות גבול היא שניתן להחליף כל קו זרם בקו של חומר לכאורה ללא הפרעה לשדה הזרימה, וזאת מכייון שהתאוריה הפוטנציאלית מזניחה את השפעות החיכוך (שנגרם עקב צמיגותו של הזורם) מה שמתברר כהנחנה טובה לרוב שדה הזרימה חוץ מבתוך שכבת הגבול.

אנליזה עבור זרימה דו-ממדית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר לנתח זרימה פוטנציאלית דו-ממדית בפשטות על ידי שימוש במיפוי קונפורמי על ידי שימוש בטרנספורמציות של המישור המרוכב. אבל, קיימים מקרים, כמו המקרה הקלאסי של אנליזת זרימה סביב גליל, שבו מספרים קומפלקסים לא נדרשים על מנת לפתור את הבעיה. פתרון של זרימה פוטנציאלית תלת-ממדית בעזרת מספרים קומפלקסים הינו בלתי אפשרי‏[6] הרעיון הכללי הינו להשתמש בפונקציה f הולומורפית (נקראת גם אנליטית) או מרומורפית, אשר ממפה את המישור הפיזיקלי (x,y) אל מישור ההעתקה (φ,Ψ) כאשר x,y,φ ו Ψ הינן פונקציות\ערכים ממשיות\ממשיים. נוח להגדיר את הגדלים הקומפלקסים: w = \varphi + i\psi ו z = x +i\psi כעת, אם נרשום את f כ‏[6]-

f(z) = w או f(x+iy) = \varphi +i\psi

אז, מפני ש - f היא פונקציה הולומורפית או מרומורפית היא חייבת לקיים את משוואת קושי-רימן[6]

\frac{\partial \varphi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y} , \frac{\partial \varphi}{\partial y} = -\frac{\partial \psi}{\partial x}

את רכיבי המהירות (u,v) בכיוונים (x,y) בהתאמה ניתן לקבל באופן ישיר מ- f אם נגזור את f לפי z, כלומר‏[6]:

\frac{df}{dz} = u - iv

ולכן, שדה המהירות V = (u,v) מתקבל על ידי:

u = \frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial y} , v = \frac{\partial \varphi}{\partial y}= -\frac{\partial \psi}{\partial x}

נשים לב שגם φ וגם Ψ מקיימות את משוואת לפלס[6]

\nabla^2\varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} , \nabla^2\psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}

ולכן, נוכל לזהות ש- φ הינה פונקציית פוטנציאל המהירות ו Ψ נקראת פונקציית הזרם.‏[6] קווים שעליהם \psi = const נקראים קווי זרם, וקווים שעליהם \varphi = const נקראים קווים שווי פוטנציאל.

קווים שווי פוטנציאל וקווי זרם ניצבים זה לזה מכיוון ש‏[6]:

\nabla\varphi\cdot\nabla\psi = \frac{\partial \varphi}{\partial x}\cdot\frac{\partial \psi}{\partial x} + \frac{\partial \varphi}{\partial y}\cdot\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial \psi}{\partial y}\frac{\partial \psi}{\partial x} - \frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial y} = 0

ולכן הזרימה זורמת לאורך קווי זרם ובניצב לקווים שווי פוטנציאל. נשים לב שהתנאי ש- \nabla^2\psi = 0 אקוויוולנטי לתנאי ש - \nabla \times V = 0 ולכן הזרימה אי רוטציונית, והתנאי האוטומטי \frac{\partial^2 \psi}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial y \partial x} מכתיב את התנאי לאי דחיסות \nabla \cdot V = 0.

דוגמאות לזרימה פוטנציאלית דו ממדית[עריכת קוד מקור | עריכה]

Conformal power half.svg
Conformal power two third.svg
Conformal power one.svg
Conformal power one and a half.svg
Conformal power two.svg
Conformal power three.svg
Conformal power minus one.svg

הערות כלליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להציב ב -f כל פונקציה דיפרנציאבילית. בדוגמאות הבאות נשתמש במגוון של פונקציות אלמנטריות ; ניתן להתמש גם בפונקציות מיוחדות. נשים לב כי פונקציות שאינן חד-חד-ערכיות כמו הלוגריתם הטבעי גם כן ניתנות למימוש, אבל צריכים להגביל אותן למשטח רימן אחד.

התנהגות חזקות[עריכת קוד מקור | עריכה]

במקרה שחזקות מופעלות על המפה הקונפורמית מעבירים את z= x + iy ל w = \varphi +i\psi[7]:

w = Az^n

לאחר מכן על ידי כתיבה של z בקואורדינטות פולריות z= x+iy=re^{i\theta} נקבל‏[7]

\psi = Ar^nsin(n\theta) ו \varphi = Ar^ncos(n\theta)

באיורים משמאל ניתן לראות דוגמאות עבור ערכים שונים של n, הקווים השחורים מתארים את גבולות הזרימה (פינה, משטח אופקי וכו'), הקווים הכחולים הכהים מתארים את קווי הזרם והקווים הכחולים הבהירים את הקווים שווי הפוטנציאל. כמה חזקות מעניינות כתלות ב-n‏[7]:

- n = \frac{1}{2}  : מתאר זרימה סביב משטח חצי אינסופי.

- n = \frac{2}{3} : מתאר זרימה ליד פינה ימנית.

- n = 1 : מקרה טריוויאלי של זרימה מציפה.

- n = 2 : זרימה היוצאת מפינה או נקודת סטגנציה.

- n = -1 : זרימה הנוצרת כתוצאה מזוגן.

הקבוע A הוא פרמטר אשר מתאר את עוצמת הזרימה כאשר |A| מתאר את העוצמה, בעוד שהארגומנט arg[A] מייצג רוטציוניות (במידה ואינה אפס).

התנהגות חזקות עבור n = 1 זרימה מציפה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם w = Az^1 כלומר, n=1 , קווי הזרם (כלומר הקווים שעליהם \psi = const ) מהווים מערכת של קווים ישרים המקבילים לציר x. קל לראות זאת על ידי פירוק לרכיבים ממשיים ומרוכבים:

f(x+iy) = Ax(x+iy) = Ax +iAy

מכאן ש - \varphi = Ax ו \psi = Ay , זרימה זו נקראת זרימה מציפה בכיוון x.

התנהגות חזקות עבור n = 2[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם n = 2 אז w=Az^2 וקווי הזרם המתאימים לערך קבוע מסוים של \psi מקיימים את המשוואה:

\psi = Ar^2sin(2\theta)

אשר מתארת מערכת של קווים היפרבולים. ניתן להראות זאת על ידי פירוק לרכיבים (ממשיים ומרוכבים) , נשים לב ש - sin(2\theta) = 2cos(\theta)sin(\theta) ובהצבה של sin(\theta) = \frac{y}{r} ו cos(\theta)= \frac{x}{r} ניתן להראות (אחרי פישוט) שהמשוואה המתארת את קווי הזרם הינה:

\psi = 2Axy

שדה המהירות נתון על ידי \nabla \varphi או :

\begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \\ \frac{\partial \varphi}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial \psi}{\partial y} \\ -\frac{\partial \psi}{\partial x} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2Ax \\ -2Ay \end{pmatrix}

בדינמיקת זורמים שדה הזרימה ליד מקור תואם זרימה ליד נקודת סטגנציה. נשים לב שהזורם במקור נמצא במנוחה (מתקבל מההגדרה שהנגזרת של f(z) = z^2 ב z = 0 ). קו הזרם שבו \psi = 0 מעניין במיוחד מכיוון שיש לו שני (או ארבעה) ענפים אשר עוקבים אחרי הצירים כלומר x = 0 ו y=0. מכיוון ששום זורם לא זורם על ציר x, נוכל להתייחס אליו כאל גבול מוצק. ולכן אפשר להתעלם המזרימה בחצי המישור השלילי y < 0 ולהתרכז בזרימה בחצי המישור העליון. עם תובנה זו ניתן לדמות את זרימה זו לזרימה שנוצרת כתוצאה מהטזת סילון מים אנכי על מישור אופקי. ניתן גם לדמות את הזרימה כזרימה ליד פינה ישרה (90^0) אם מסתכלים על האזור בו x > 0 וגם y > 0.

התנהגות חזקות עבור n = 3[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם n = 3 הזרימה המתקבלת דומה לזרימה עבור n = 2 רק שכאן הזווית של הפינה שווה ל - 60^0. קווי הזרם:

\psi = 3x^2y - y^2

התנהגות חזקות עם n = -1 זוגן[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם n = -1 קווי הזרם נתונים על ידי:

\psi = -\frac{A}{r}sin(\theta)

ובפירוק לרכיבים:

\psi = -\frac{Ay}{r^2} = -\frac{Ay}{x^2 + y^2}

x^2 + y^2 + \frac{Ay}{\psi} =0

x^2 + (y + \frac{A}{2\psi})^2 = (\frac{A}{2\psi})^2

ולכן קווי הזרם הם מעגלים אשר ניצבים לציר ה - x בגובה של המקור. המעגלים בחצי המישור העליון זורמים ביכוון השעון והמעגלים בחצי המישור התחתון נגד כיוון השעון. נשים לב שרכיבי המהירות פרופורציונלים ל - r^{-2} ושהערכים שלהם במקור הינם אינסופיים. לצורת הזרימה קוראים זוגן וניתן לדמות זוגן על ידי מקור ובור בעוצמה מסוימת אשר ממוקמים במרחק אינפינטיסימלי קטן זה מזה. שדה המהירות נתון על ידי: (u,v) = (\frac{\partial \psi}{\partial y} , -\frac{\partial \psi}{\partial x}) = (A\frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} , -A\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2})

ובקואורדינטות פולריות:

(u_r, u_\theta) = (\frac{1}{r}\frac{\partial\psi}{\partial \theta}, -\frac{\partial \psi}{\partial r}) = (-\frac{A}{r^2}cos\theta,-\frac{A}{r^2}sin\theta)

התנהגות חזקות עם n = -2 quadrupole[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם n = -2 קווי הזרם הם:

\psi = -\frac{A}{r^2}sin(2\theta)

זרימה זו נקראת quadrupole.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

סימוכין[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Batchelor (1973) pp. 99–101.
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Batchelor (1973) pp. 378–380.
  3. ^ Kirby , B.J. (2010) , Micro - and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices Cambbridge University Press, ISBN 978-0-521-11903-0
  4. ^ 4.0 4.1 Anderson, J.D. (2002), Modern compressible flow, McGraw-Hill, ISBN 0-07-242443-5 , pp. 358 - 359.
  5. ^ Lamb(1994)§287,pp. 492-495.
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Batchelor(1973) pp . 106-108.
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 Batchelor(1973)pp.409-413