משתמש:Yohai.bs/ארגז חול

יצירת משתנים המתפלגים נורמלית

הצורך ליצור משתנים המתפלגים התפלגות נורמלית עולה בתחומים רבים. בשפת תכנות רבות קיים מחולל פסבדו אקראי המייצר משתנים המתפלגים התפלגות אחידה על הקטע $\ [0,1)$, ולכן דרושה שיטה להפוך את המשתנה המקרי האחיד למשתנה המתפלג התפלגות נורמלית סטנדרטית. ישנן מספר דרכים לעשות זאת:

לאורך כל הדוגמאות המובאות בפסקה זו $\ X$ יסמן משתנה מקרי המפלג אחיד על קטע היחידה.

• דרך אינטואיטיבית (אך לא יעילה) ליצור משתנה מקרי המתפלג נורמלית בקירוב היא על ידי שימוש במשפט הגבול המרכזי הקובע כי סכום של מספר גדול של משתנים מקריים אחידים שואף להתפלגות נורמלית. על מנת ליצור התפלגות נורמלית סטנדרטית יש לדאוג שתוחלת הסכום תהייה שווה לאפס וסטיית התקן לאחת. לכן, המשתנה המקרי

$Y={\sqrt {\frac {12}{N}}}\left(X_{1}+X_{2}+\dots +X_{N}-{\frac {N}{2}}\right)$

מתפלג בקירוב התפלגות נורמלית סטנדרטית, וככל שמספר המחוברים גדל, כך גדל הדיוק.

• שיטה כללית יותר, ומדוייקת מבחינה מתמטית מתקבלת על ידי הפיכת פונקציית ההסתברות המצטברת. באופן כללי, אם $\ F$ היא פונקציית ההסתברות המצטברת של התפלגות נתונה, אז $\ F^{-1}(X)$ מתפלג בהתפלגות זו. לכן,

$\ Y={\mbox{erf}}^{-1}(2X-1)$

מתפלג נורמלית, כאשר $\ {\mbox{erf}}$ היא פונקציית השגיאה. על מנת להשתמש בשיטה זו יש לדעת לחשב את פונקציית השגיאה, שהיא אינה פונקציה אלמנטרית.

• שיטה יעילה יותר שגם היא מדוייקת מבחינה מתמטית נקראת טרנספורמצית בוקס-מולר. טרנספורמציה זו משתמש בעובדה שהתפלגות כי בריבוע עם שתי דרגות חופש היא התפלגות מעריכית, וקיימת נוסחא מדוייקת להפיכת משתנה מקרי אחיד למשתנה המתפלג מעריכית. טרנספורמצית בוקס-מולר לוקחת שני משתנים מקריים אחידים $\ X_{1},X_{2}$ ומחזירה שני משתנים מקריים בלתי תלויים $\ Y_{1},Y_{2}$ המתפלגים נורמלית על ידי הנוסחא

${\begin{aligned}Y_{1}&=&{\sqrt {-2\ln X_{1}}}\,\cos(2\pi X_{2})\\Y_{2}&=&{\sqrt {-2\ln X_{1}}}\,\cos(2\pi X_{2})\end{aligned}}$